Blatt 1

WS 2011/12
Blatt 1
10.11.2011
Prof. D. Egorova
Übungen zur Vorlesung
Theoretische Chemie: Quantenmechanik
1. Wir betrachten einen dreidimensionalen kartesischen Raum mit den Koordinaten x, y, z.
(a) Schreiben Sie den Impulsoperator p̂ und seine drei Komponenten p̂x , p̂y , p̂z sowie den Operator der kinetischen Energie T̂ und seine drei Komponenten T̂x , T̂y , T̂z auf.
(b) Rechnen Sie die Kommutatoren [p̂z , ẑ], [p̂x , ŷ], [T̂x , p̂x ] und [T̂y , ŷ] aus und diskutieren Sie die
physikalische Bedeutung des Ergebnisses.
2. Bilden Sie den Hamiltonoperator Ĥ für
(a) ein freies Teilchen, das sich nur entlang der x - Achse bewegen kann.
(b) den eindimensionalen harmonischen Oszillator.
3. Postulat 4 der Vorlesung definiert die Eigenwertgleichung:
F̂ φi = Fi φi .
Bestimmen Sie die Eigenfunktionen des Operators p̂x .
4. In der Quantenmechanik spielen die Legendre-Polynome Pn (x) eine wichtige Rolle (Eigenfunktionen des Bahndrehimpulsoperators). Die Polynome P1 (x), P2 (x) und P3 (x) sind wie folgt gegeben:
P1 (x) = x
1
P2 (x) = (3x2 − 1)
2
1
P3 (x) = (5x3 − 3x).
2
Wir definieren den komplexen Vektorraum V mit Elementen
f (x) = c1 P1 (x) + c2 P2 (x) + c3 P3 (x); −1 ≤ x ≤ 1; c1 , c2 , c3 ∈ C,
in dem das Skalarprodukt (innere Produkt) durch
Z 1
hf |gi =
dx f ∗ (x) g(x)
−1
gegeben ist.
(a) Bestimmen Sie {f1 = c1 P1 (x), f2 = c2 P2 (x), f3 = c3 P3 (x)} so, daß sie eine Orthonormalbasis
von V darstellen und zeigen Sie die Orthogonalität der Basisvektoren.
√
(b) Bestimmen Sie die Komponenten der Funktion g(x) = 5x3 + i 32 x2 + ( 6 − 3)x − 2i in der
Basis {|fn i}, n = 1, 2, 3.
5. Lösen Sie die stationäre Schrödingergleichung ĤΨ = EΨ, E > 0 für das Teilchen von Aufgabe 2a. Schreiben Sie die erhaltene allgemeine Lösung sowohl in der exponentiellen als auch in der
trigonometrischen Form auf. Beachten Sie dabei, dass für die Wellenfunktion Ψ auch komplexe
Lösungen zugelassen sind. Vergleichen Sie die erhaltene Wellenfunktion mit der Eigenfunktion
des Impulsoperators (Aufgabe 3).
6. Die auf dem Intervall [0, 2π] definierten Funktionen
1
f1 (x) = √ ,
2π
f2 (x) =
sin(kx)
√
,
π
f3 (x) =
cos(kx)
√
,
π
k∈N
bilden bezüglich des Skalarprodukts
Z
2π
hf |gi =
dx f ∗ (x) g(x)
0
eine Orthonormalbasis des Vektorraums
V = {f : [0, 2π] → C; f (x) = c1 f1 (x) + c2 f2 (x) + c3 f3 (x); c1 , c2 , c3 ∈ C}.
Wir betrachten den Impulsoperator p̂ =
~ d
i dx
auf dem Vektorraum V.
(a) Bestimmen Sie die Matrixdarstellung
Z 2π
~ d
pnm = hfn |p̂|fm i =
dx fn∗ (x)
fm (x),
i dx
0
n, m = 1, 2, 3
des Operators p̂ bezüglich der Basis {|f1 i, |f2 i, |f3 i}
(b) Bestimmen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix pnm ,
n, m = 1, 2, 3, sowie die Eigenfunktionen von p̂.
(c) Ist der Impulsoperator p̂ ein Hermitescher Operator auf V? (Begründung!)