Optik, Wellen und Teilchen - 5. Physikalisches Institut

Grundlagen der
Experimentalphysik 3
(Optik, Wellen und Teilchen)
WS 2010/11
Prof. Dr. Tilman Pfau
5. Physikalisches Institut
Übungsblatt 11
Besprechung: 19. Januar 2011
Aufgabe 1:
tial
Korrespondenzprinzip im Kastenpoten-
4(2,2) Punkte
Gegeben sei ein unendlich tiefes Kastenpotential mit V = ∞ für x ≤ 0 und x ≥ L,
V = 0 für 0 < x < L.
q
−iEn t
2 n2 π 2
~
Die Eigenfunktionen sind ψn = L2 sin( nπx
mit den Eigenenergien En = ~2mL
2 mit n=1,2,3,....
L )e
a) Zeigen Sie, dass hier das Korrespondenzprinzip gilt und die quantenmechanischen Lösungen für
große n in die klassischen übergehen: ∆E = hν. Berechnen Sie dazu die Energie eines Quants
∆E = En −En−1 für n → ∞ und drücken Sie n durch En aus. Betrachten Sie für den klassischen
Fall ein im Potentialtopf umlaufendes Teilchen mit der Energie E und leiten Sie den Ausdruck
für die Frequenz
ν ab. Um die Korrespondenz zu zeigen, benötigen Sie noch den Zusammenhang
√
nh = 2L 2mE, der aus der Bohr-Sommerfeldschen Quantisierungsbedingung folgt.
b) Skizzieren Sie die ersten vier Eigenfunktionen und die dazugehörigen Aufenthaltswahrscheinlichkeiten eines Teilchens. Überlegen Sie sich qualitativ, wie die Aufenthaltswahrscheinlichkeit
für n → ∞ aussieht und vergleichen Sie diese mit der klassischen Aufenthaltswahrscheinlichkeit.
1
Aufgabe 2:
Tunnelprozeß
8 (3,2,1,2) Punkte
Der Tunneleffekt von Teilchen durch Potentialbarrieren spielt in vielen Bereichen der Physik
eine wichtige Rolle. Beispiele hierfür sind z.B. die Feldemission von Elektronen aus Metallen, der
radioaktive α-Zerfall oder die Rastertunnelmikroskopie. Die einfachste Methode zur Beschreibung
des Tunneleffektes ist die Untersuchung des Auftreffens einer ebenen Welle mit der Energie E auf
eine Potentialbarriere mit der Höhe E0 > E und der Breite a.
Abbildung 1: Skizze zu Aufgabe 2.
a) Leiten Sie aus den Amplituden A und A0 der Wellenfunktion vor und hinter der Barrie0 2
|
re einen Ausdruck für den Transmissionskoeffizienten T = |A
her. Lösen Sie dazu die
|A|2
Schrödingergleichung für die Bereiche I,II und III. Verwenden Sie folgende Ansätze für die
Wellenfunktion
ψI = Aeikx + Be−ikx ,
ψII = Ceαx + Be−αx ,
ψIII = A0 eikx
Zum vereinfachen der Endformel sind folgende Formeln hilfreich:
sinh(x) = 12 (ex − e−x )
cosh(x) = 12 (ex + e−x )
cosh(2x) = 2sinh2 (x) − 1
Die Lösung der Teilaufgabe a) lautet:
0 2
A 4k 2 α2
=
A
4k 2 α2 + (α2 + k 2 )2 sinh2 (αa)
mit k =
p
2mE/~2 und α =
p
−2m(E − E0 )/~2
b) Skizzieren Sie die Wellenfunktionen in den Bereichen I,II und III. Was gilt für den Transmissionskoeffizienten wenn αa >> 1?
c) Überlegen Sie sich qualitativ, was mit der Wellenfunktion für ein einlaufendes Teilchen mit
einer Energie knapp über E0 passiert?
d) Wie groß ist die Transmissionswahrscheinlichkeit für ein Elektron der Energie E = 10eV
durch eine Barriere der Breite a = 10−10 m und der Höhe E0 = 20eV .
Überlegen Sie sich, wie man den Tunneleffekt ausnutzen kann, um Oberflächen mit atomarer
Auflösung abzutasten.
2
Aufgabe 3:
EPR-Paradoxon
6 (1,3,2) Punkte
Die Quantenmechanik ist eine der am Besten bestätigten Theorien in der Physik. Allerdings
zeigen sich in ihrem Formalismus auch Effekte, die der alltäglichen Realitätsauffassung der Menschen widersprechen. Auch Einstein war früh sehr skeptisch gegenüber der Quantentheorie und
versuchte die Widersprüchlichkeit der Quantenmechanik in einem Paradoxon deutlich zu machen,
welches er mit Hilfe Podolsky und Rosen 1935 veröffentlichte. Erst in den 80iger Jahren konnte
dieses Paradoxon experimentell untersucht werden. Lesen Sie dazu den Nature Artikel von Alain
Aspect (Nature 398, 189-190 (18 March 1999)) und beantworten Sie folgende Fragen. Sie finden
den Artikel auch auf der Vorlesungshomepage zum Herunterladen.
a) Was versteht man unter einem verschränkten Zustand?
b) Was versteht man unter dem Einstein-Podolski-Rosen (EPR) Paradoxon? Welchen Einwand
hatte Einstein, Podolski und Rosen gegen die Quantenmechanik als fundamentale Theorie?
c) Kann man diesen Einwand experimentell überprüfen?
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