Kein Folientitel

Quantenmechanische Grundlagen für die
Biophysik
•Das Physikbild am Ende des 19. Jahrhunderts:
“...künftige Arbeit besteht nur noch darin, an bereits bekannten
Ergebnissen weitere Dezimalstellen anzufügen....”
•Natur kann beschrieben werden durch:
(klassische) Mechanik
→
(klassische) Elektrodynamik →
Newtonsche Gesetze
Maxwell Gleichungen
Lord Kelvin:
“… das Gebäude der Physik erscheint vollkommen
harmonisch und im wesentlichen vollendet, nur am
Horizont sehe ich zwei dunkle Wolken …
das Ergebnis des Versuchs von
Micholson-Morley → Relativitätstheorie
Ultraviolettkatastrophe des Raleigh-Jeanschen
Strahlungsgesetzes → Quantenmechanik
Schwarzer Strahler
1500 K
Intensität
Max Planck 1900:
Energie E =hν
h = 6,662 . 10-34 Js
ν Frequenz
1000 K
500 K
0
10
20
30
40
50
λ (µ m)
⇒ Energie in Form von Licht ist quantisiert
Photoelektrischer Effekt
Ø: Austrittsarbeit
EK: kinetische Energie
der Photoelektronen
Albert Einstein (1905):
EK = h . ν
Welleneigenschaften von Materie
Zusammenhang zwischen Impuls p und Wellenlänge λ eines
Lichtquants
Ansatz:
E = h ν = m c2
Mit Impuls p = m c folgt:
hν
Mit c = λ ν folgt:
⇒
nach Einstein
c: Lichtgeschwindigkeit
= pc
hν = pλ ν
λ=
h
p
De-Broglie: Auch Teilchen der Ruhemasse m0 lässt sich
eine Wellenlänge λ zuordnen (Welle-Teilchen-Dualismus)
Stehende Elektronenwellen lassen sich durch Rastertunnelmikroskopie abbilden:
Cu(111)-Fe-Quantenkreis
Ein durch Heliumatome erzeugtes Interferenzmuster belegt die
Welleneigenschaft von Materie
Kurtsiever et al
Nature 386
(1997) S. 170 ff
Bohrsches Atommodell
Elektronen bewegen sich auf Kreisbahnen um den Kern gemäß
der 2 Bohrschen Postulate:
1.
2.
Em – En = h . ν
2πR = n λ = n . h/p
R: Radius
p: Impuls
λ: Wellenlänge
m,n: 1,2,3....(m>n)
Problem: Elektronen auf einer Kreisbahn müssen Energie
abstrahlen und in den Kern fallen
Quantenmechanik
Prinzip der Anschaulichkeit wird aufgegeben
In der Quantenmechanik wird die Welt durch
Zustände beschrieben. Diese Zustände lassen sich
als Funktionen mathematisch beschreiben.
Beschreibung von Zuständen durch Wellenfunktionen

Wellenfunktion ψ ( r ) eines Teilchens ist keine
beobachtbare Grösse (Observable)
dp(r)=|ψ(r)|2dV ist die (infinitesimale) Wahrscheinlichkeit
ein Teilchen im (infinitesimalen) Volumenelement dV zu
finden.
Normierungsbedingung:
∫ dp = 1
“irgendwo ist das Teilchen!”
∫∣ψ(r )∣2 dV =1
Unschärferelationen
Zeit-Energie-Unschärfe:
∆t∆E≥ h
Orts-Impuls-Unschärfe:
∆x∆p≥ h
⇒
Es ist unmöglich, Ort und Impuls bzw. Zeit und
Energie eines Teilchens gleichzeitig
zu bestimmen!
Fourier-Transformation I
Fourier-Transformation II
Fourier-Transformation III
Operatoren und Messwerte
A steht für irgendeine physikalische Größe die beobachtet
werden kann (Observable).
Dazu gehört ein Operator Â, der auf Wellenfunktionen wirkt:
̂ ψ(r )=c ψ ' (r )
A
Das „Spektrum“ von  legt die möglichen Messwerte für die
Größe A fest: Dies sind die „Eigenwerte“ a1, a2, a3, a4, ... von
Â, definiert durch:
̂ ψi (r )=a i ψi (r )
A
Eigenfunktionen
Jede Wellenfunktion ψ kann als komplexe Linearkombination
der Eigenfunktionen eines Operators Â, geschrieben werden:
ψ(r )=∑ c i ψi ( r )
i
Das Betragsquadrat des Koeffizienten ci liefert die Wahrscheinlichkeit wi bei einer Messung der Observablen A den zugehörigen
Meßwert ai zu erhalten:
wi = ci*ci
Die Koeffizienten ci erhält man aus der Normierungsbedingung
und aus der Orthogonalität der Eigenfunktionen:
c i=∫ ψi∗ ψ(r )dV
Erwartungswerte
Der Erwartungswert für die Messung der Größe A ist gleich der
Summe aller möglichen Meßwerte gewichtet mit ihrer jeweiligen
Wahrscheinlichkeit:
⟨ A⟩=∑ ai wi
i
Dieser Erwartungswert läßt sich auch durch Operator und
Wellenfunktion ausdrücken:
⟨ A⟩ = ∑ a i c ∗i ci = ∑ a i ∫ ψ ∗ ( r )ψi (r ) dV c i
i
∗
i
̂ ψi (r) dV c i = ∫ ψ ∗ (r ) A
̂ ψ(r ) dV
= ∑ ∫ ψ (r ) A
i
Im Ergebnis gilt also:
∗
̂ ψ(r ) dV
⟨ A⟩ = ∫ ψ (r ) A
Schrödinger-Gleichung
Eigenwertproblem aus der Funktionentheorie: Der Energieoperator H
angewendet auf die Wellenfunktion ψ(r) ergibt:
Ĥ ψ( r ) = E ψ( r )
E: Energieeigenwert
Zeitunabhängige (stationäre) Schrödinger-Gleichung:
(
2
2
2
)
2
ℏ ∂ ψ(r ) ∂ ψ(r ) ∂ ψ(r )
−
+
+
+ E p (r ) ψ(r ) = E ψ( r )
2
2
2
2m
∂x
∂y
∂z
Ep(r) : Potentielle Energie als Funktion des Ortes