Spektroskopie-¨Ubungen

Spektroskopie-Übungen
Abgabe bis 06.05.97
Postfach E3-452
Aufgabe 8: Unendliche Reihen
Überzeuge dich von der Richtigkeit der folgenden Formeln, die bei der Herleitung der Planckschen Strahlungsformel von Bedeutung sind.
∞
X
1
x =
1−x
n=0
n
und
∞
X
n=0
nxn =
x
(1 − x)2
für
|x| < 1
Aufgabe 9: Quantenmechanik
Diese Aufgabe soll dir das Verständnis der Quantenmechanik erleichtern. Wie die Klassische
Mechanik nach Newton auf drei postulierten Gesetzmäßigkeiten aufbaut, kommt auch die Quantenmechanik nicht ohne Basisannahmen aus, die prizipiell nicht beweisbar sind. Dies können
für die Quantenmechanik eines Teilchens die folgenden Axiome sein.
• Jede physikalische Größe A entspricht einem linearen Operator Â. Jeder Observablen (d. h.
beobachtbaren Größe) ist ein hermitescher Operator zugeordnet.
• Die einzig möglichen Werte, die man bei der Messung einer Observablen A erhält, sind die
Eigenwerte des zugehörigen Operators Â.
• Der Zustand des betrachteten Systems wird durch eine Wellenfunktion ψ (mit bestimmten
Eigenschaften) beschrieben, die die maximale Information enthält, d. h. die gesamte Information,
die man über das System erhalten kann.
• Die zeitliche Entwicklung des Systems wird durch die zeitabhängige Schrödingergleichung be∂
schrieben: ih̄ ∂t
ψ = Ĥψ
• Nach der Bornschen Interpretation der Wellenfunktion gibt |ψ(~r, t)|2 die Wahrscheinlichkeitsdichte an, das Teilchen zu einem Zeitpunkt t am Ort ~r anzutreffen.
(a) Man benutzt die folgenden Rezepte“ zur Konstruktion der Operatoren im Ortsraum:
”
• Die physikalische Größe wird als Funktion des Ortes und des Impulses in kartesischen Koordinaten ausgedrückt.
• Jeder Ortskomponente x wird ein multiplikativer Operator x̂ = x zugeordnet.
∂
• Jeder Impulskomponente px wird ein Impulsoperator p̂x = −ih̄ ∂x
zugeordnet.
Formuliere für eine eindimensionale Bewegung die Operatoren, die der kinetischen Energie T ,
der potentiellen Energie V und der Gesamtenergie H zugeordnet sind.
Welcher Operator ist dem Impulsvektor zugeordnet? Bilde den Operator T̂ für die Bewegung
eines Teilchens in drei Dimensionen.
d
(b) Finde die Eigenfunktionen des Impulsoperators p̂ = −ih̄ dx
für die Bewegung eines Teilchens
in x-Richtung. Zeige, daß die Wahl dieses Operators (die bis hierhin unbegründet ist) mit der
de Broglie-Wellenlänge des Teilchens kompatibel ist. Verallgemeinere die Eigenfunktionen auf
die dreidimensionale Bewegung eines Teilchens (in Richtung von ~k).
(c) Was ist eine Wahrscheinlichkeitsdichte? Warum ist der Erwartungswert einer Größe x in
einer normierten Wahrscheinlichkeitsdichte f (x) durch
hxi =
Z
xf (x) dx
gegeben. Was bedeutet es, die Wellenfunktion zu normieren, und warum ist das sinnvoll?
(d) Ein Teilchen soll durch eine gaußförmige Wellenfunktion beschrieben werden (in der Form,
wie sie auf jedem 10DM-Schein angegeben ist). Wie ist der Vorfaktor zu verändern, damit
die Wellenfunktion normiert ist? Bestimme den Ort hxi, den man im Mittel über sehr viele
Messungen als Aufenthaltsort des Teilchens angeben würde (Ortserwartungwert).
Wenn eine Wellenfunktion wie hier reell ist, ist der Erwartungswert des Impulses
hpi =
Z
ψ ∗ p̂ψ dx
immer gleich null. Begründe diese Aussage.
Berechne das mittlere Schwankungsquadrat (d. h. die quadratische Summe aller Abweichungen
vom Mittelwert) der gemessenen Orts- und Impulswerte. Diskutiere die Ergebnisse.
Hinweis: Das mittlere Schwankungsquadrat (∆p)2 des Impulses ist die Differenz der folgenden
Mittelwerte (vgl. Varianz in der Fehlerrechnung).
(∆p)2 = hp2 i − hpi2
Für das mittlere Schwankungsquadrat (∆x)2 des Ortes gilt eine analoge Beziehung.
Benutze für die Rechnung die Formeln
Z
∞
exp −ay
2
dy =
π
a
r
r
−∞
Z
∞
−∞
2
y exp −ay
2
dy =
π
a
1
2a