4. Woche
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4Wo_Erwartungswerte, Korrespondenz QM KM_9/10-5-17 4. Quantenmechanische Erwartungswerte Nach der statistischen Interpretation der Wellenfunktion als Wahrscheinlichkeitsamplitude ist w ( x , t ) ( x , t ) 2 die Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte eines Teilchens bei eindimensionaler Bewegung in x-Richtung. Demnach ist x dx x ( x, t ) 2 dx * ( x, t ) x ( x, t ) . die mittlere Koordinate eines Teilchens mit der Wellenfunktion ( x , t ) . Die Notation ... steht für den quantenmechanischen Erwartungswert im "Zustand" ( x , t ) . Der quantenmechanische Erwartungswert einer von x abhängigen Größe f(x) im Zustand ( x , t ) ist analog f ( x ) dx * ( x ) f ( x ) ( x ) . 1. Frage: Wie berechnet sich der mittlere Impuls des Teilchens? ~ ( p, t ) dafür, dass der Dazu benötigen wir offensichtlich die Wahrscheinlichkeitsdichte w Impuls p zum Zeitpunkt t ( t , t dt ) den Wert p ( p, p dp ) annimmt. ~ ( p, t ) betrachten wir die Fourier-Transformierte ( p, t ) der WellenZur Bestimmung von w funktion ( x , t ) (vgl. Fourier-Transformation/-Integral auf dem ersten Übungsblatt; k p / ) ( x , t ) 1 2 dp ( p, t ) e p i x ( p, t ) bzw. 1 2 dx ( x, t ) e p i x . (4.1a/b) Es gilt i i px px 1 1 * * dp ( p , t ) dp dp dx e dx dp e 2 2 2 * *( p ,t ) ( x ,t ) dx * dx ( x, t ) 1. 2 1 dp Die Relation 2 (p, t ) 1 (das Parseval´sche Theorem der Fourier-Transformation) legt nahe, ( p, t ) 2 als die gesuchte aufzufassen. Für den quantenmechanischen Erwartungswert des Impulses im Zustand ( p, t ) ergibt sich also p dp p ( p, t ) 2 . 2. Frage: Kann man den quantenmechanischen Erwartungswert p auch durch die "ursprüngliche" Wellenfunktion (x,t) ausdrücken ? Wir haben (t-Abhängigkeit unterdrückt) p dp p ( p, t ) 2 dp ( p) p * ( p) dp ( p) p i px 1 * dx ( x ) e 2 * ( p ) i px 1 d dp p ( p ) e dx *( x ) i dx 2 dx *( x ) p i x 1 dp ( p ) e , 2 ( x ), ( 4.1a ) wobei wir die Reihenfolge der Integration über x und p vertauscht und das Integral über p durch Ableitung nach x auf ( x ) zurückgeführt haben. Infolgedessen gilt p dx ( x ) p̂ ( x ) * mit p̂ : i d . dx Analog finden wir p n dp p n 2 (p, t ) ... f ( p) dx (x ) p̂ * ( x ) und dp g(p) ( p, t ) ... n 2 dx ( x ) g( p̂) (x ) , * wenn wir voraussetzen, dass die Funktion g(p) in eine Taylor-Reihe entwickelbar ist. Beachte: 1) ( x , t ) und ( p, t ) enthalten die gleichen (vollständigen) Informationen über den Zustand des Teilchens (des betrachteten quantenmechanischen Systems); sie können als 2 unterschiedliche Darstellungen der Wellenfunktionen/Wahrscheinlichkeitsamplituden aufgefasst werden. 2) I.a. f ( x ) f ( x ) und f ( p) f ( p ) . Im dreidimensionalen Fall wird aus x r , aus p p , aus dx d 3r und aus dp d 3p . Die analoge Rechnung führt auf p dx *( x ) p̂ ( x ) mit p̂ : i . i (4.2) Wir nennen den Operator p̂ den Impulsoperator des Teilchens. Verallgemeinerung: Den quantenmechanischen Erwartungswert einer klassischen Phasenraumvariablen/Observablen Q(p, r, t ) schreiben wir in der Form Q d 3 r *( r , t ) Q̂ ( r , t ) wobei Q̂ Q( r , i , t ) . (4.3) Dieser Erwartungswert bezieht sich stets auf einen bestimmten Zustand des betrachteten quantenmechanischen Systems beschrieben durch die Wellenfunktion ( r , t ) . Q̂ ist der Operator, der der Observablen Q(p, r, t ) in der Quantenmechanik zugeordnet wird ( s.u.). Beispiele: A) Wellenfunktion ( r , t ) , Wahrscheinlichkeitsdichte ( r, t ) *( r, t ) d 3 r , "Ortsdarstellung" Observable Operator Ort r r̂ r Impuls p p̂ i potenzielle Energie U ( r ) U(r ) Energie H( p, r , t) Ĥ Hamilton-Operator Teilchen im Kraftfeld U ( r ) Ĥ ( i ) 2 2 U ( r̂ , t ) U( r, t ) 2m 2m 3 Q( p, r , t ) Q̂ Q( i , r , t ) (Symmetrisierungsregel berücksichtigen) Drehimpuls L( p, r ) r p 1 i L̂ ( r̂ p̂ p̂ r̂ ) ( r r ) 2 2 B) Wellenfunktion ( p, t ) , Wahrscheinlichkeitsdichte ( p, t ) * ( p, t ) d 3p , "Impulsdarstellung" Observable Operator Ort r , , r̂ i p i p x p y p z Impuls p p̂ p Q( p, r , t ) Q̂ Q( p, i p , t ) T selbständig durchdenken und analog zur Vorgehensweise oben herleiten Die stationäre Schrödinger-Gleichung für die Bewegung eines Teilchens im Kraftfeld U(r,t) lautet unter Verwendung des Hamilton-Operators Ĥ in kompakter Schreibweise Ĥ ( r ) E ( r ) mit Ĥ 2 2 U(r, t ) . 2m Mathematisch gesehen ist das die Eigenwertgleichung für den Hamilton-Operator Ĥ . Die Wellenfunktionen ( r ) sind also die Eigenfunktionen des Hamilton-Operators und die Energieniveaus E die dazugehörigen Eigenwerte. Vermutung: In der Quantenmechanik werden wir der klassischen Observablen Q( p, r , t ) den Operator Q̂ Q( i , r , t ) zuordnen. Wir werden sehen, dass die Eigenwerte qn die möglichen Messwerte der Observablen Q in einem durch n beschriebenen Zustand entsprechend Q̂ n q n n sind. ■ Impuls: p̂ i , p̂ ( r ) k ( r ) mit Eigenfunktionen (r ) ~ ei k r und Eigenwerten p k , freies Teilchen ■ Energie: Ĥ (r ) E (r ) , s.o. ■ analog L̂ , L̂ , L̂ z , T̂ usw. 2 4 Einschub: Korrespondenz zwischen klassischer Mechanik und Schrödinger´scher Wellenmechanik im Lichte der Hamilton-Jacobi-Theorie Bevor wir uns in Kapitel 5 der axiomatischen Formulierung der Quantenmechanik im HilbertRaum zuwenden, diskutieren wir zum Abschluss eine Möglichkeit, die klassische Mechanik als Grenzfall der in den ersten vier Kapiteln behandelten Wellenmechanik nach Erwin Schrödinger, Nils Bohr und Max Born aufzufassen. Dazu betrachten wir wieder die Bewegung eines Teilchens in einem Potentialfeld U (r, t ) , die 2 vollständig durch die Hamilton-Funktion H p / 2 m U ( r , t ) gegeben ist. In der klassischen Mechanik kann die Bahnkurve des Teilchens aus der Hamilton-Jacobi-Gleichung S 1 H r, S, t ( S) 2 U (r, t ) t 2m ermittelt werden (vgl. Skript Mechanik). In der Quantenmechanik ist die Schrödinger-Gleichung r̂ r , p̂ i ( r, t ) 2 2 i Ĥ ( r , t ) , Ĥ H ( r̂ , p̂, t ) U( r, t ) Bohr´sches Kor t 2m respondenzprinzip (H1) für die Wellenfunktion ( r , t ) mit dem Hamilton-Operator Ĥ zu lösen. Wir verwenden den Lösungsansatz: i ( r , t ) e S ( r ,t ) mit S ( r , t ) S0 ( r , t ) i S1 ( r , t ) (i) 2 S2 ( r , t ) ... Beschränken wir uns auf den ersten und zweiten Term in der Reihenentwicklung von S ( r , t ) nach Potenzen von i beschränken, dann ist 5 i ( r, t ) e ( S0 i S1 ) i e S0 S1 i : a ( r , t ) e S0 ( r ,t ) . vgl. L2 , Bd. III, §18 (H2) In dieser Näherung sind S0 ( r, t ) die Phase und a ( r, t ) exp ( S1 ) die Amplitude der Wellenfunktion. (H2) eingesetzt in die Schrödinger-Gleichung (H1) ergibt unter Verwendung von e i S0 i a a S0 i S0 2i 1 2i 2 2 2 e a a S0 2 a ( S0 ) 2 a S0 i i S0 S a a 0 e i t t t die Relation a S0 i a a i 2 2 2 ( S0 ) 2 i a S 0 a S0 a Ua 0 . t 2m t 2m m 2m ***** ******* *************** (H3) Die Terme der Ordnung 0 in (H3) führen auf (für a 0 ) S0 1 ( S0 ) 2 U 0 , t 2m d.h., die Phase der Wellenfunktion S0 genügt der Hamilton-Jacobi-Gleichung: Im Sinne eines 0 formalen "Grenzübergangs" QM KM ist die Hamilton-Jacobi-Gleichung der klassische Grenzfall der Schrödinger-Gleichung. Die Terme der nächst höherer Ordnung 1 in (H3) ergeben 1 a 1 2 a S0 a S0 0 . t 2m m Nach Multiplikation mit 2a folgt daraus die Gleichung 2 S0 a div a 2 0. t m (H4) 6 Zur Interpretation von (H3) ist es hilfreich, in der betrachteten Näherung (H2) die Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte ( r , t ) 2 i * e S0 S1 e i S0 S1 2 auszurechnen: e 2 S1 a 2 . Also handelt es sich bei (H3) um die Kontinuitätsgleichung für die Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte. Wir erkennen, dass die durch die Wellenfunktion beschriebene Bewegung nicht in eine Bewegung entlang einer bestimmten klassischen Bahnkurve übergeht. Stattdessen verschiebt sich die Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte ( r , t ) Zeit in Übereinstimmung mit den Gesetzen der klassischen Mechanik, denn 2 im Laufe der S0 p ist ja m m gerade die Geschwindigkeit des klassisch beschriebenen Teilchens. 7
