Observablen

ÜBUNG 5
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Variationstheorie
Störungstheorie
Harmonischer Oscillator
Hamilton-Operator eines Vielteilchen-Systems
Born-Oppenheimer-Näherung
Hartree- und Hartree-Fock Näherungen
Slater-Determinante
Aufgaben:
1. Erklären Sie den Begriff „vollständiger Satz von Funktionen“. Bilden die Eigenfunktionen eines quantenmechanischen Operators ein „vollständiges“ System?
2. Betrachten sie ein Teilchen (Masse m) in zwei Dimensionen. Die Grundzustands( x, y) A exp[ x ( x a x ) 2
a y ) 2 ]. Bestimmen Sie den
eigenfunktion sei
y (y
Erwartungswert für xy. Hinweis:
0
e
y2
dy
1
2
/ .
3. Welche der Operatoren: xˆ, pˆ x und d / dx sind hermitesch? Kann der d / dx Operator eine
Observable beschreiben?
4. Beweisen Sie, dass die Eigenwerte eines hermiteschen Operators reell sind.
5. Finden Sie einen hermiteschen Operator, deren Eigenwert
5.45 2i ist.
6. Beweisen Sie, dass die Eigenfunktionen eines hermiteschen Operators zu verschiedenen
Eigenwerten ortogonal sind.
7. Wann ist das Produkt aus zwei hermetischen Operatoren  und B̂ wieder hermitesch?
Ist x̂ p̂ x hermitesch? Ist x̂ p̂ x eine Observable?
8. Wie rechnet man den Erwartungswert einer Observablen mit dem Operator ˆ für ein
System im Zustand ? Kann man die Formel beweisen?
9. Ist der Erwartungswert für einen hermiteschen Operator ˆ immer reell? Beweisen Sie
die Antwort. Warum wurden zu den Observablen gerade hermitische Operatoren
zugeordnet? Begründen Sie Ihre Gedanken.
10. Betrachten Sie das Wasserstoffatom. Verwenden Sie das Variationsprinzip mit der
Probefunktion e-kr um eine Obergrenze der Grundzustandsenergie des Wasserstoffatoms
zu bestimmen. Hinweis:
0
xne
ax
dx
n! / a n 1 .
11. Bestimmen Sie die Gleichungen für die Extremwerte der Funktion u f (x, y) mit der
Nebenbedingung (x, y) 0 . Verwenden Sie dabei die Multiplikatorenmethode von
Lagrange.
12. Bestimmen Sie die Seiten eines Rechtecks, das in einen Kreis x 2
ist und die maximale Fläche besitzt.
13. Betrachten Sie die Funktion f ( x, y)
f ( x, y), wenn x 2 y 2 1.
x2
y2
y2
R 2 eingebettet
3xy. Bestimmen Sie die Extrema von
14. Ein einfacher Ansatz für eine N-Teilchen Wellenfunktion ist das Hartree-Produkt, bei
dem die Vielteilchen-Wellenfunktion
als Produkt von normierten Einteilchen-Wellen 




funktionen φi angesetzt wird ( r1 ,r2 ,...,rN )
1 ( r1 )
2 ( r2 )
N ( rN ) . Zeigen Sie, dass
das Hartree-Produkt der Einteilchen-Funktionen eine Eigenfunktion des
N




Hamiltonoperators H
h( ri ) ist, wobei h( ri ) i ( ri )
i
i ( ri ) gelten soll. Wie
i 1
lautet der Eigenwert E von H ?
15. Verwenden Sie die zeitunabhängige Störungstheorie zur ersten Ordnung, um die
Änderung der Grundzustandsenergie eines Teilchens mit der Masse m, das sich in einem
harmonischen Potential, V ( x) kx 2 / 2, befindet, und das eine Störung V (x) cx , mit
c eine Konstante, erlebt. Vergleichen Sie mit dem exacten Ergebnis für die Grundzustandsenergie des Teilchens, das sich in dem Gesamtpotential V (x)
V (x) befindet.
16. Wie geht man bei der Born-Oppenheimer-Näherung vor? Welche Glieder aus dem
Hamilton-Operator wirft man damit weg? Ist das korrekt? Warum? Betrachten Sie den
Fall eines Wasserstoffmolekül:
a. Wie sieht die Schrödinger-Gleichung für dieses System aus? Benennen Sie alle
Größen, die Sie einführen.
b. Zu welcher/n Gleichung/en ist diese Gleichung in der Born-OppenheimerNäherung (BON) äquivalent?
c. Wie sieht die Wellenfunktion des Systems in der BON aus?
d. Wie sieht die Gesamtenergie des Systems in der BON aus?
e. Für welche Gleichung verwendet man die Hartree-Näherung? Wie sieht dann die
Wellenfunktion des Systems aus?
17. Formulieren Sie das Ununterscheidbarkeitprinzip (UUP). Gilt das UUP auch in der klassischen Mechanik? Warum? Illustrieren Sie das. Zeigen Sie mit Hilfe des UUP, dass die
Wellenfunktion eines Systems identischer Teilchen nur symmetrisch oder antisymmetrisch bezüglich des Austauchs von zwei Teilchen sein könnte.
18. Wie sieht die Hartree-Fock Wellenfunktion für ein N-Elektronensystem aus? Wozu
braucht man den Faktor 1 / N! ? Ist diese Wellenfunktion immer antisymmetrisch?
Ferner betrachten Sie nur ein Zwei-Elektronensystem. Beweisen Sie, dass die HartreeFock Wellenfunktionen orthonormiert sind, wenn die entsprechenden Orbitale normiert
und orthogonal sind.