ÜBUNG 6 Aufgaben:

ÜBUNG 6
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Störungstheorie
Harmonischer Oscillator
Hamilton-Operator eines Vielteilchen-Systems
Born-Oppenheimer-Näherung
Hartree- und Hartree-Fock Näherungen
Slater-Determinante
Pauli-Prinzip
Aufgaben:
1. Ein einfacher Ansatz für eine N-Teilchen Wellenfunktion ist das Hartree-Produkt, bei
dem die Vielteilchen-Wellenfunktion
als Produkt von normierten Einteilchen-Wellen 




funktionen φi angesetzt wird ( r1 ,r2 ,...,rN )
1 ( r1 )
2 ( r2 )
N ( rN ) . Zeigen Sie, dass
das Hartree-Produkt der Einteilchen-Funktionen eine Eigenfunktion des
N




Hamiltonoperators H
h( ri ) ist, wobei h( ri ) i ( ri )
i
i ( ri ) gelten soll. Wie
i 1
lautet der Eigenwert E von H ?
2. Verwenden Sie die zeitunabhängige Störungstheorie zur ersten Ordnung, um die
Änderung der Grundzustandsenergie eines Teilchens mit der Masse m, das sich in einem
harmonischen Potential, V ( x) kx 2 / 2, befindet, und das eine Störung V (x) cx , mit
c eine Konstante, erlebt. Vergleichen Sie mit dem exacten Ergebnis für die Grundzustandsenergie des Teilchens, das sich in dem Gesamtpotential V (x)
V (x) befindet.
3. Wie geht man bei der Born-Oppenheimer-Näherung vor? Welche Glieder aus dem
Hamilton-Operator wirft man damit weg? Ist das korrekt? Warum? Betrachten Sie den
Fall eines Wasserstoffmolekül:
a. Wie sieht die Schrödinger-Gleichung für dieses System aus? Benennen Sie alle
Größen, die Sie einführen.
b. Zu welcher/n Gleichung/en ist diese Gleichung in der Born-OppenheimerNäherung (BON) äquivalent?
c. Wie sieht die Wellenfunktion des Systems in der BON aus?
d. Wie sieht die Gesamtenergie des Systems in der BON aus?
e. Für welche Gleichung verwendet man die Hartree-Näherung? Wie sieht dann die
Wellenfunktion des Systems aus?
4. Formulieren Sie das Ununterscheidbarkeitprinzip (UUP). Gilt das UUP auch in der klassischen Mechanik? Warum? Illustrieren Sie das. Zeigen Sie mit Hilfe des UUP, dass die
Wellenfunktion eines Systems identischer Teilchen nur symmetrisch oder antisymmetrisch bezüglich des Austauchs von zwei Teilchen sein könnte.
5. Wie sieht die Hartree-Fock Wellenfunktion für ein n-Elektronensystem aus? Wozu
braucht man den Faktor 1/ N! ? Ist diese Wellenfunktion immer antisymmetrisch?
Ferner betrachten Sie nur ein Zwei-Elektronensystem. Beweisen Sie, dass die HartreeFock Wellenfunktionen orthonormiert sind, wenn die entsprechenden Orbitale normiert
und orthogonal sind.
6. Die vollständige Fassung des Pauli-Prinzips lautet: Nur solche Mehrelektronenwellenfunktionen sind zulässig, die antisymmetrisch in bezug auf gleichzeitige Vertauschung
von Orts- und Spinkoordinaten zweier Teilchen sind. Ausgehend aus dieser Formulierung
beweisen Sie, dass in einem Mehrelektronensystem kann jedes Spinorbital maximal von 1
Elektronen besetzt werden.
7. Was ist ein Orbital? Die Hartree-Näherung. Erklären Sie das Konzept des
selbstkonsistenten Feldes? Wellenfunktionen, Orbital- und Gesamtenergien in der
Hartree-Näherung. Schreiben Sie die entsprechende Einteilchen-Gleichung für die
Orbitale auf.
8. Die Hartree-Fock-Näherung. Wellenfunktionen, Orbital- und Gesamtenergien in der
Hartree-Fock-Näherung. Fock-Operator. Schreiben Sie die entsprechende EinteilchenGleichung für die Orbitale auf. Welchen zusätzlichen Effekt berücksichtigt die HartreeFock-Näherung im Gegensatz zu der Hartree-Näherung?
9. Skizzieren Sie das Selbstkonsistentverfahren für die Bestimmung der Orbitale in den
Hartree- und Hartree-Fock-Näherungen.