Übung 1 - Universität zu Köln

Institut für Theoretische Physik
Universität zu Köln
Prof. Dr. A. Rosch
J. Lux
TPII (Quantenmechanik) — Übungsblatt 1
Sommersemester 2016
http://www.thp.uni-koeln.de/~lux/QMSS16/
Abgabe:
bis Mittwoch, 20. April 2016, 12 Uhr
1. Gauß’sches Wellenpaket (9 Punkte)
Betrachten Sie die komplexe Wellenfunktion Ψ(x, t), welche zum Zeitpunkt t = 0 gegeben ist
durch
Ψ(x, t = 0) = √
x2
1
ik0 x − 4σ2
e
e
.
σ(2π)1/4
(1)
Das Betragsquadrat der Wellenfunktion |Ψ(x, t = 0)|2 , also die Wahrscheinlichkeitsverteilung
entlang
der x-Achse zum Zeitpunkt t = 0, ist gerade ein Gauß’sche Normalverteilung, so dass
R∞
dx|Ψ(x,
t = 0)|2 = 1.
−∞
a) Berechnen Sie dieRErwartungswerte hxit , hx2 it und hp̂it zum Zeitpunkt t = 0 mit der
∞
Definition hÔit = −∞ dxΨ∗ (x, t)ÔΨ(x, t) und p̂ → −i~∂x .
R∞
b) Bestimmen Sie die Fouriertransformierte Ψk (t = 0) = −∞ dxΨ(x, t = 0)e−ikx .
q
R∞
(x−z)2
Hinweis: −∞ dxe−A 2 = 2π
A mit Re{A} > 0 für beliebiges komplexes z.
c) Die Wellenfunktion entwickelt sich in der Zeit gemäß der Schrödingergleichung
i~∂t Ψ(x, t) = −
~2 2
∂ Ψ(x, t).
2m x
(2)
Berechnen Sie die Wellenfunktion zum Zeitpunkt t > 0. Leiten sie hierfür aus der
Schrödingergleichung eine entsprechende Gleichung für die Fouriertransformierte Ψk (t)
her, und lösen Sie zunächst
Berechnen Sie das Ergebnis dann mit Hilfe der RückR ∞diese.
dk
transformation Ψ(x, t) = −∞ 2π
Ψk (t)eikx . Zeigen Sie, dass die Lösung folgendermaßen
lautet:
"
#
√
~k0 2
2
~k0
(x
−
t)
1
σ
m
p
Ψ(x, t) = eik0 x−i 2m t
exp −
.
(3)
4(σ 2 + i~t/(2m))
(2π)1/4 σ 2 + i~t/(2m)
d) Zeigen Sie, dass das Betragsquadrat der Wellenfunktion für alle t ≥ 0 die Form einer
Normalverteilung hat
2
|Ψ(x, t)|2 =
(x−v0 t)
1
−
√ e 2σ(t)2 .
σ(t) 2π
(4)
Bestimmen Sie die Geschwindigkeit v0 mit der sich das Gauß’sche Wellenpaket bewegt
und die Zeitabhängigkeit der Breite σ(t). Berechnen Sie die Erwartungswerte hxit , hx2 it
und hp̂it für endliche t > 0.
1
2. Komplexes Potential (5 Punkte)
Betrachten Sie den Operator
L = H + iW = −
~2 2
∇ + V (r) + iW (r)
2m
(5)
wobei V und W reell sind. Die Zeitentwicklung einer Wellenfunktion Ψ(r, t) sei gegeben durch
i~ ∂t Ψ = LΨ = HΨ + iW Ψ.
(6)
Wie in der Vorlesung definieren wir die Wahrscheinlichkeitsdichte ρ(r, t) = |Ψ(r, t)|2 und die
~
Wahrscheinlichkeitsstromdichte j(r, t) = 2im
(Ψ∗ ∇Ψ−Ψ∇Ψ∗ ). Zeigen Sie, dass die Kontinuitätsgleichung ∂t ρ + ∇ · j = 0 für die Zeitentwicklung mit W 6= 0 nicht mehr gültig ist. Leiten Sie
eine erweiterte Kontinuitätsgleichung mit einem zusätzlichen Term her. Interpretieren Sie das
Ergebnis. Welchen Einflussß hat das Vorzeichen von W ?
3. Kommutatoren (5 Punkte)
Beim Übergang zur Quantenmechanik sind Ort und Impuls durch lineare Operatoren x̂ und p̂
zu ersetzen die der fundamentalen Vertauschungsrelation
[x̂, p̂] = x̂p̂ − p̂x̂ = i~
(7)
genügen.
a) In der Darstellung kartesischer Koordinaten gelten die Ersetzungsregeln x̂ → x und
p̂ → −i~∂x für die beiden Operatoren. Zeigen sie explizit, dass die fundamentale Vertauschungsrelation in dieser Darstellung erfüllt wird.
b) Gegeben sei eine Funktion der Koordinate, f (x). Berechnen sie den Kommutator
K̂ = [f (x̂), p̂].
(8)
Verwenden sie hierfür die Darstellung kartesischer Koordinaten und betrachten sie die
Wirkung des Operators K̂ in dieser Darstellung auf eine beliebige Wellenfunktion Ψ(x).
2