Übungen zur Vorlesung Theoretische Chemie I Wintersemester 2015/2016 Übungsblatt 6 25. November Aufgabe 1 (Entwicklung von Wellenfunktionen): Ein Teilchen im eindimensionalen unendlich hohen Kasten der Länge L wird im Bereich [0, L] durch die Wellenfunktion ψ = N x(L − x) beschrieben. a) Erfüllt ψ die Bedingungen für eine erlaubte Wellenfunktion? b) Skizzieren Sie die Wellenfunktion über das Intervall x ∈ [0, L] hinaus. c) Bestimmen Sie die Normierungskonstante N und geben Sie die Wellenfunktion im Intervall [0, L] an. d) Ist ψ Eigenfunktion des TiK-Hamiltonoperators? e) Vergleichen Sie den mit ψ erhaltenen Erwartungswert der Energie mit der h2 Grundzustandsenergie (E1 = 8mL 2 ) des TiK. f) ψ lässt sich als Linearkombination der Eigenfunktionen des TiK entwickeln: ψ= ∞ X r cn n=1 nπ 2 sin x L L Berechnen Sie den Entwicklungskoeffizienten der Grundzustandsfunktion. g) Erklären Sie mit diesem Ansatz das unter e) gefundene Resultat. Integrationshilfen: Z sin(ax) x cos(ax) − a2 a 2 Z 2x x 2 2 x sin(ax)dx = 2 sin(ax) − − 3 cos(ax) a a a x sin(ax)dx = Aufgabe 2 (Teilchen im eindimensionalen Kasten): Für ein Elementarteilchen ist folgendes Potential gegeben: V = 0 für − L L <x<+ 2 2 und V = ∞ sonst a) Stellen Sie die Hamiltonoperatoren der drei Definitionsbereiche auf und bestimmen Sie jeweils die allgemeine Form der Wellenfunktion ψ. L ψI ∀x < − 2 L L ψ = ψII ∀x ∈ − , 2 2 L ψ III ∀x > 2 b) Ist ψ über den gesamten Definitionsbereich stetig differenzierbar? c) Welche Werte haben hxi und hpx i für den ersten angeregten Zustand? Stellt hxi den wahrscheinlichsten Wert für eine Einzelmessung des Aufenthaltsorts des Teilchens dar? d) Berechnen Sie den Betrag des Erwartungswerts für das Produkt ∆x∆px der Unschärfen von Ort und Impuls ∆x = x − hxi und ∆px = p̂x − hp̂x i im Grundzustand. Vergleichen Sie Ihr Ergebnis mit der Heisenbergschen Unschärferelation für Ort und Impuls (∆x∆px ≥ ~2 ). e) Betrachten Sie das TiK als Modell der π-Elektronen von Butadien. Skizzieren Sie das Zustandsdiagramm, indem Sie die Zustände des TiK nach dem Aufbauprinzip mit den vier π-Elektronen des Butadiens besetzen. Aufgabe 3 (Teilchen im dreidimensionalen Kasten): Ein Elektron befindet sich in folgendem dreidimensionalen Potential: V (x, y, z) = 0 für 0 < x < La , 0 < y < Lb , 0 < z < Lc V (x, y, z) = ∞ sonst mit La =1 nm, Lb =2 nm, Lc =3 nm. a) Stellen Sie einen Ansatz für eine gültige Wellenfunktion ψ(x, y, z) innerhalb des Kastens auf. Wie viele Quantenzahlen erwarten Sie? b) Berechnen Sie die erste Anregungsenergie (in eV; 1 eV = 1,602×10−19 J) des Teilchens im dreidimensionalen Kasten. Berechnen Sie hierzu zunächst den Eigenwert des Hamiltonoperators. Konstanten: h=6,626×10−34 Js, me =9,109×10−31 kg c) Nehmen Sie den Fall La = Lb = Lc = 1 nm an. Wie viele Zustände und wie viele Energieniveaus gibt es mit E ≤ 4 eV? Besprechung: 01./03. Dezember und 08./10. Dezember