6. Vorlesung

Quantenmechanik I
Sommersemester 2013
QM Web–Page
http://einrichtungen.physik.tu-muenchen.de/T30e/
teaching/ss13/qm1.d.html
Hinweise
☞ Zusätzliche Übung: Aufgrund des großen Andrangs bieten
wir eine zusätzliche Montagsübung von 10 bis 12 Uhr in PH
3344 an.
Hinweise
☞ Zusätzliche Übung: Aufgrund des großen Andrangs bieten
wir eine zusätzliche Montagsübung von 10 bis 12 Uhr in PH
3344 an.
☞ Nächster Montag (13.5.): 830 − 855 : 1. Quantentest
• Bearbeitungszeit: 20 Minuten
• Keine Hilfsmittel!
• Bitte bringen Sie einen Lichtbildausweis und Ihren
Studentenausweis!
• Seien Sie pünktlich!
Hinweise
☞ Zusätzliche Übung: Aufgrund des großen Andrangs bieten
wir eine zusätzliche Montagsübung von 10 bis 12 Uhr in PH
3344 an.
☞ Nächster Montag (13.5.): 830 − 855 : 1. Quantentest
• Bearbeitungszeit: 20 Minuten
• Keine Hilfsmittel!
• Bitte bringen Sie einen Lichtbildausweis und Ihren
Studentenausweis!
• Seien Sie pünktlich!
☞ Fehler im aktuellen Aufgabenblatt in Aufgabe 8:
Gleichung 11 → Gleichung 10
Wellenfunktion
|Ψ(x, t)|2
a
W
b
=
Zb
=
Wahrscheinlichkeit, das Teilchen in [a, b] zu finden
a
dx |Ψ(x, t)|2
Mittelwert
ρ(x) = |ψ(x)|2
|
x0
x
liefert
hxi =
Z∞
dx ρ(x, t) x = x0
−∞
☞ Interpretation: Wenn man
1
2
ein Teilchen in einen durch Ψ beschriebenen Zustand setzt
den Ort des Teilchens misst
und diese Vorgehensweise sehr oft wiederholt, erhält man
im Mittel den Wert hxi.
Wellenfunktion im Orts- und Impulsraum
☞ Wellenfunktion Ψ als Wellenpaket
Z
i
d3 p
Φ(~p, t) · e ~ ~p·~r
Ψ(~r, t) =
3/2
(2π~)
Wellenfunktion im Orts- und Impulsraum
☞ Wellenfunktion Ψ als Wellenpaket
Z
i
d3 p
Φ(~p, t) · e ~ ~p·~r
Ψ(~r, t) =
3/2
(2π~)
☞ Wellenfunktion Φ im Impulsraum
Z
i
d3 r
e− ~ ~p·~r Ψ(~r, t)
Φ(~p, t) =
(2π~)3/2
Wellenfunktion im Orts- und Impulsraum
☞ Wellenfunktion Ψ als Wellenpaket
Z
i
d3 p
Φ(~p, t) · e ~ ~p·~r
Ψ(~r, t) =
3/2
(2π~)
☞ Wellenfunktion Φ im Impulsraum
Z
i
d3 r
e− ~ ~p·~r Ψ(~r, t)
Φ(~p, t) =
(2π~)3/2
☞ Zusammenhang: Fourier–Transformation
Fourier–Transformation
Ψ(~r, t) ←
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→ Φ(~p, t)
Fourier–Rücktransformation
„Sandwich“–Struktur
☞ Beispiel: Mittelwert des Impulses ~p
~p =
Z
d p ~p |Φ(~p, t)| =
3
2
Impulsdarstellung
Z
d3 p Φ∗ (~p, t) ~p Φ(~p, t)
„Sandwich“–Struktur
☞ Beispiel: Mittelwert des Impulses ~p
~p =
=
Z
d p ~p |Φ(~p, t)| =
Z
~ Ψ(~r, t)
d3 r Ψ∗ (~r, t) −i ~ ∇
3
2
Impulsdarstellung
Z
d3 p Φ∗ (~p, t) ~p Φ(~p, t)
„Sandwich“–Struktur
☞ Beispiel: Mittelwert des Impulses ~p
~p =
=
Z
d p ~p |Φ(~p, t)| =
Z
~ Ψ(~r, t)
d3 r Ψ∗ (~r, t) −i ~ ∇
3
2
Z
d3 p Φ∗ (~p, t) ~p Φ(~p, t)
☞ „Sandwich“–Formel
Z
Z
3
∗
O =
d r Ψ (~r, t) O Ψ(~r, t) =
d3 p Φ∗ (~p, t) O Ψ(~p, t)
mit
Ortsdarstellung Impulsdarstellung
~p
~r
Ort
i~∇
~
~p
Impuls −i ~ ∇
Schwankungsquadrate
☞ Schwankungsquadrat des Ortes
Z
2
d3 r (x − hxi)2 Ψ(~r, t)
(∆x)2 = (∆x)2 =
Schwankungsquadrate
☞ Schwankungsquadrat des Ortes
Z
2
d3 r (x − hxi)2 Ψ(~r, t)
(∆x)2 = (∆x)2 =
☞ Schwankungsquadrat des Impulses
Z
2
(∆px )2 = (∆px )2 =
d3 p (px − hpx i)2 Φ(~p, t)
Schwankungsquadrate
☞ Schwankungsquadrat des Ortes
Z
2
d3 r (x − hxi)2 Ψ(~r, t)
(∆x)2 = (∆x)2 =
☞ Schwankungsquadrat des Impulses
Z
2
(∆px )2 = (∆px )2 =
d3 p (px − hpx i)2 Φ(~p, t)
☞ Orts- und Impulsunschärfe
∆x
:=
∆px
:=
p
(∆x)2
p
(∆px )2
Kommutatoren
☞ Definition
[a, b] := a b − b a
Kommutatoren
☞ Definition
[a, b] := a b − b a
☞ Beispiel
[x, px ]
=
=
=
x px − px x
∂
∂
− −i ~
x
x −i ~
∂x
∂x
i~
Kommutatoren
☞ Definition
[a, b] := a b − b a
☞ Beispiel
[x, px ]
=
=
=
x px − px x
∂
∂
− −i ~
x
x −i ~
∂x
∂x
i~
☞ Verallgemeinerung
[xj , pk ] = i ~ δjk
δjk =
1, j=k
0, j,k
Drehimpulsoperator
~ = ~r × ~p
☞ Klassischer Drehimpuls: L
Drehimpulsoperator
~ = ~r × ~p
☞ Klassischer Drehimpuls: L
☞ Quantenmechanik: Drehimpulsoperator
   ∂ 
x
∂x
~ = ~r × −i ~ ∇
~ = − i~  y ×  ∂ 
L
∂y
∂
z
∂z
Drehimpulsoperator
~ = ~r × ~p
☞ Klassischer Drehimpuls: L
☞ Quantenmechanik: Drehimpulsoperator
   ∂ 
x
∂x
~ = ~r × −i ~ ∇
~ = − i~  y ×  ∂ 
L
∂y
∂
z
∂z
☞ Komponenten
Lx
=
Ly
=
Lz
=
∂
∂
−i ~ y
−z
∂z
∂y
∂
∂
−x
−i ~ z
∂x
∂z
∂
∂
−i ~ x
−y
∂y
∂x
Drehimpulsoperator
~ = ~r × ~p
☞ Klassischer Drehimpuls: L
☞ Quantenmechanik: Drehimpulsoperator
   ∂ 
x
∂x
~ = ~r × −i ~ ∇
~ = − i~  y ×  ∂ 
L
∂y
∂
z
∂z
☞ Komponenten
Lx
=
∂
∂
−i ~ y
−z
∂z
∂y
etc.
Drehimpulsoperator
~ = ~r × ~p
☞ Klassischer Drehimpuls: L
☞ Quantenmechanik: Drehimpulsoperator
   ∂ 
x
∂x
~ = ~r × −i ~ ∇
~ = − i~  y ×  ∂ 
L
∂y
∂
z
∂z
☞ Komponenten
Lx
=
∂
∂
−i ~ y
−z
∂z
∂y
etc.
☞ Vertauschungsrelationen (Übungen)
Lx , Ly =
Ly , Lz =
[Lz , Lx ] =
i ~ Lz
i ~ Lx
i ~ Ly
Stationäre Systeme
☞ Annahme: V hängt nicht von der Zeit t ab
Stationäre Systeme
☞ Annahme: V hängt nicht von der Zeit t ab
➥ Separationsansatz
iEt
Ψ(x, t) = ψ(x) exp −
~
Stationäre Systeme
☞ Annahme: V hängt nicht von der Zeit t ab
➥ Separationsansatz
iEt
Ψ(x, t) = ψ(x) exp −
~
☞ Einsetzen
∂
i ~ Ψ(x, t) = i ~
∂t
iEt
iE
ψ(x) exp −
= E Ψ(x, t)
−
~
~
Stationäre Systeme
☞ Annahme: V hängt nicht von der Zeit t ab
➥ Separationsansatz
iEt
Ψ(x, t) = ψ(x) exp −
~
☞ Einsetzen
∂
i ~ Ψ(x, t) = i ~
∂t
iEt
iE
ψ(x) exp −
= E Ψ(x, t)
−
~
~
➥ Stationäre Schrödinger–Gleichung
H Ψ(x, t) = E Ψ(x, t)
Stationäre Systeme
☞ Annahme: V hängt nicht von der Zeit t ab
➥ Separationsansatz
iEt
Ψ(x, t) = ψ(x) exp −
~
☞ Einsetzen
∂
i ~ Ψ(x, t) = i ~
∂t
iEt
iE
ψ(x) exp −
= E Ψ(x, t)
−
~
~
➥ Stationäre Schrödinger–Gleichung
H Ψ(x, t) = E Ψ(x, t)
➥ Eigenwertgleichung für ψ
H ψ(x) = E ψ(x)
Eindimensionale Potentialprobleme
V(x)
x
Eindimensionale Potentialprobleme
V(x)
x
☞ Stationäre Schrödinger–Gleichung
H ψ(x) = E ψ(x)
Eindimensionale Potentialprobleme
V(x)
x
☞ Stationäre Schrödinger–Gleichung
H ψ(x) = E ψ(x)
☞ Hamilton–Operator
H =
−~2 d2
+ V(x)
2m dx2
Bedingungen an die Lösungen ψ(x)
(W1) ψ muß normierbar sein, d.h.
Z∞
dx |ψ(x)|2 = 1
−∞
Bedingungen an die Lösungen ψ(x)
(W1) ψ muß normierbar sein, d.h.
Z∞
dx |ψ(x)|2 = 1
−∞
(W2) ψ(x) muß stetig sein für alle x.
Bedingungen an die Lösungen ψ(x)
(W1) ψ muß normierbar sein, d.h.
Z∞
dx |ψ(x)|2 = 1
−∞
(W2) ψ(x) muß stetig sein für alle x.
(W2′ ) ψ′ (x) muß stetig sein für alle x, solange V eine endliche
Funktion ist.
Paritäts–Symmetrie
☞ Ausgangspunkt: Symmetrie des Potentials
V(−x) = V(x)
V(x)
x
☞ Spiegelungs- bzw. Paritäts–Symmetrie
x 7→ − x ,
d
d
7→ −
,
dx
dx
d2
d2
→
7
dx2
dx2
Potentialtopf
V(x)
a
−a
x
V0
I
II
V(x) = − V0 Θ(a − |x|)
mit
Θ(a − |x|) =
0
1
für
für
x ≤ 0
x > 0
III
Lösungen zu −V0 < E < 0
☞ Lösungen bestimmt durch Schrödinger–Gleichung
ψ′′ (x) +
2m E
−
V(x)
ψ(x) = 0
~2
Lösungen zu −V0 < E < 0
☞ Lösungen bestimmt durch Schrödinger–Gleichung
ψ′′ (x) +
2m E
−
V(x)
ψ(x) = 0
~2
☞ Unterteilung

2m |E|


ψ(x)
=: κ2 ψ(x)

~2
′′
ψ (x) =

2m(E + V0 )

 −
ψ(x) =: −q2 ψ(x)
~2
mit
κ :=
√
2m|E|
~
und
p
2m(E + V0 )
q :=
~
für |x| > a
für |x| ≤ a
Lösungen im Innen- und Außenbereich
☞ Lösungen im Außenbereich (|x| ≥ a)
ψ(x) = C1 e−κ x + C2 eκ x
Lösungen im Innen- und Außenbereich
☞ Lösungen im Außenbereich (|x| ≥ a)
ψ(x) = C1 e−κ x + C2 eκ x
☞ Normierbarkeit
C1 e−κ x
ψ(x) =
C2 e+κ x
für
für
x ≥ a
x ≤ −a
Lösungen im Innen- und Außenbereich
☞ Lösungen im Außenbereich (|x| ≥ a)
ψ(x) = C1 e−κ x + C2 eκ x
☞ Normierbarkeit
C1 e−κ x
ψ(x) =
C2 e+κ x
für
für
x ≥ a
x ≤ −a
☞ Lösungen im Innenbereich (|x| ≤ a)
ψ(x) = C3 ei q x + C4 e−i q x = A cos(q x) + B sin(q x)
Gerade und ungerade Lösungen
☞ Gerade Lösungen (P ψ(x) = +1 · ψ(x))

 A cos(q x) für |x| ≤ a
C e−κ x
für x ≥ a
ψ(x) =

C eκ x
für x ≤ − a
Gerade und ungerade Lösungen
☞ Gerade Lösungen (P ψ(x) = +1 · ψ(x))

 A cos(q x) für |x| ≤ a
C e−κ x
für x ≥ a
ψ(x) =

C eκ x
für x ≤ − a
☞ Ungerade Lösungen (P ψ(x) = −1 · ψ(x))

 B sin(q x) für |x| ≤ a
C′ e−κ x
für x ≥ a
ψ(x) =

−C′ eκ x
für x ≤ − a
Gebundene Lösungen mit gerader Parität
☞ Lösungen bestimmt durch tan z =
mit z := q a
q
ξ02 − z2
z
√
2m V0
ξ0 :=
a
~
und
tan z
q
ξ02 − z2
z1
z
z2
π/2
3π/2
z3
5π/2
Gebundene Lösungen mit gerader Parität
V
x
Gebundene Lösungen mit gerader Parität
V
x
Gebundene Lösungen mit gerader Parität
V
x
Gebundene Lösungen mit ungerader Parität
☞ Lösungen bestimmt durch − cot(z) =
q
ξ02 − z2
z
− cot z
q
ξ02 − z2
z
z̄1
z̄3
z̄2
π
2π
Gebundene Lösungen mit ungerader Parität
☞ Lösungen bestimmt durch − cot(z) =
q
ξ02 − z2
z
− cot z
q
ξ02 − z2
z
z̄1
z̄3
z̄2
π
2π
Gebundene Lösungen mit ungerader Parität
☞ Lösungen bestimmt durch − cot(z) =
q
ξ02 − z2
z
− cot z
q
ξ02 − z2
z
z̄1
z̄3
z̄2
π
2π
☞ #(gebundene Lösungen) abhängig von ξ0 =
√
2m V0
a
~
Gebundene Lösungen mit ungerader Parität
V
x
Gebundene Lösungen mit ungerader Parität
V
x
Gebundene Lösungen mit ungerader Parität
V
x
Gebundene Zustände: Quantenmechanik
V(x)
−a
a
x
E2
E1
E0
☞ Zahl der Lösungen: endlich!
☞ Spektrum: diskret!
Gebundene Zustände: Klassische Mechanik
V(x)
−a
a
☞ Zahl der Lösungen: unendlich!
☞ Spektrum: E beliebig in −V0 < E < 0
x