Physikalische Chemie 2 / Theoretische Chemie 1

Lehrstuhl für Theoretische Chemie
Prof. Dr. C. Ochsenfeld
Tutoren: P. Snajberk, T. Kessel, A. Lünser
Physikalische Chemie 2 / Theoretische Chemie 1
Übungsblatt Nr. 4
Besprechung: 14.11.2013
Aufgabe 13 - Bra-Ket-Schreibweise und Skalarprodukt
b Of
b i (x) = ωi fi (x) Schreiben Sie die
a) Gegeben ist die Eigenwertgleichung eines Operators O:
Eigenwertgleichung in Ket-Schreibweise. Stellen Sie nach dem Eigenwert ωi um, indem Sie
„von links mit dem Bra hfi | multiplizieren“. Formulieren Sie die auftretenden Gleichungen
in Bra-Ket- und in ausführlicher Integralschreibweise.
b) Skalarprodukte (in reellen Vektorräumen) erfüllen die folgenden Bedingungen (Vektoren
u, v, w, Skalar s):
hu|vi = hv|ui
hu + v|wi = hu|wi + hv|wi
hsu|vi = s hu|vi
hu|ui ≥ 0
Zeigen Sie, dass die Beziehungen für drei Vektoren u = (3, −2, 2)T , v = (2, −1, 1)T ,
w = (4, 3, 5)T und einem Skalar s gelten.
c) Zeigen Sie ebenfalls,
dass die analogen Bedingungen für die Wellenfunktionen
π
3π
f1 (x) = N sin L x , f2 (x) = N sin( 2π
L x) , f3 (x) = N sin( L x) mit 0 ≤ x ≤ L (Teilchen im Kasten) und einem Skalar s erfüllt sind, indem Sie die Wellenfunktionen f1 ,
f2 und f3 als Vektoren u, v und w auffassen und von der Bra-Ket-Schreibweise in die
ausführliche Schreibweise wechseln. Führen Sie ggf. die Integration aus. Verwenden Sie
die Beziehung
sin(x) sin(y) = 12 [cos(x − y) − cos(x + y)].
d) Was bedeutet die Formulierung „Multiplikation von links mit einem Bra“?
Aufgabe 14 - Eigenwert und Erwartungswert: Theorie
b gilt die Eigenwertgleichung aus Aufgabe 13.
Für einen Operator O
D E
b , wenn das System durch die Wellenfunktion
a) Wie berechnet man den Erwartungswert O
f beschrieben wird?
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D E
b besteht, wenn
b) Welcher Zusammenhang zwischen Eigenwert ωi und Erwartungswert O
b befindet, wenn also f = fi ?
sich das System in einem Eigenzustand von O
b zusammen, wenn für die Wellenfunktion f gilt:
c) Wie setzt sich der Erwartungswert von O
f = 0.9f0 + 0.1f1 ? Gehen Sie von orthonormalen Eigenfunktionen f0 und f1 aus. Geben
P
Sie ebenfalls die Zusammensetzung an, wenn allgemein gilt f = ci · fi .
i
Aufgabe 15 - Eigenwert und Erwartungswert: Anwendungsbeispiel
a) Zeigen Sie, dass die beiden Funktionen f1 = ekx und f2 = e−kx Eigenfunktionen des
d
Impulsoperators pbx = ~i dx
sind. Bestimmen Sie die Eigenwerte p1 und p2 in Abhängigkeit
von k.
q
b) Drücken Sie die Wellenfunktion f (x) = L2 sin πx
L (Grundzustands-Wellenfunktion für
das Teilchen im Kasten) als
Linearkombination
von
f1 und f2 aus. Verwenden Sie dabei
iz
1
−iz
die Gleichung sin(z) = 2i e − e
. Was sagt das Ergebnis über die Messwerte einer
Geschwindigkeitsmessung (im Grundzustand) aus?
c) Bestimmen Sie (ohne weitere Rechnung) den Erwartungswert der Geschwindigkeit. Bedenken Sie dabei die anschauliche Bedeutung der Eigenwerte und des Erwartungswerts in
Bezug auf die Messergebnisse.
Aufgabe 16 - Bornsche Interpretation der Wellenfunktion
Ein Teilchen ist auf eine Region 0 ≤ x ≤ ∞ beschränkt und sein Zustand wird durch die
Wellenfunktion Ψ(x) = N e−2x beschrieben.
a) Bestimmen Sie N so, dass Ψ normiert ist.
b) Wie groß ist die Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte am Ort x = ln(10)?
c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit das Teilchen an Orten mit x ≥ 1 zu finden?
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