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WS 2015 / 16 – Ulrich Hohenester 13. Vorlesung Was noch fehlt Konzepte jenseits der Quantenmechanik Was noch fehlt … Messung von quantenmechanischen Systemen Um ein System zu „messen“, muss man es stören und beobachten, wie es auf die Störung reagiert Franck – Hertz Experiment Zeitunabhängige Störung Nehmen wir an, wir kennen die Lösungen des ungestörten Problems. Durch die Störung wird es zu einer (kleinen) Änderung der Eigenwerte und Eigenzustände kommen. Diese Änderungen werden im Rahmen der Störungstheorie berechnet. Ungestörtes Problem Kleine Störung l ist ein Parameter, der die Stärke der äußeren Störung (elektrisches oder magnetisches Feld) beschreibt. Experimentell kann l frei gewählt werden. Man kann also den Einfluß der Stärke der Störung systematisch untersuchen. Zeitunabhängige Störung Der Hamiltonoperator inkl. Störung und die gestörten Eigenwerte und Eigenzustände werden in die Schrödingergleichung eingetzt. Danach fasst man Terme mit derselben Potenz ln zusammen. Schrödingergleichung Ordnen nach Potenzen von l Für das Skalarprodukt zwischen ungestörter und gestörter Wellenfunktion gilt Zeitunabhängige Störung Die erste Korrektur zum Energieeigenwert ergibt sich zu : Die ungestörten Zustände bestimmen die Änderung der Energieeigenwerte (bei schwacher Störung) Beispiel Zeemaneffekt : Anlegen eines schwachen Magnetfelds spaltet Linien auf Zeitabhängige Störung Auf ähnliche Weise kann man auch vorgehen, wenn die Störung zeitabhängig ist. Allerdings ist die Rechnung komplizierter. Hamiltonoperator Ungestörtes Problem Allgemeine Lösung Man findet, dass Übergänge zwischen Eigenzuständen induziert werden können „Fermis Goldene Regel“ Beispiel Atomspektren Semiklassische Entwicklung Für hoch angeregte Zustände kann man die Lösungen der Schrödingergleichung nach Potenzen des Planckschen Wirkungsquantums entwickeln. Man erhält damit Korrekturen zur klassischen Lösung. Beispiel WKB – Näherung benannt nach Wentzel, Kramers, Brillouin Ortsabhängiger Impuls Näherungsweise Wellenfunktion Abstrakter Formalismus der Quantenmechanik Oft ist es günstig, eine abstraktere Formulierung der Quantenmechanik zu wählen, ein beliebter Zugang wurde von Paul Dirac eingeführt Analogie mit Vektoren Vektor Skalarprodukt Komponenten Matrix Transformation Paul Dirac Quantenmechanik im Hilbertraum Vektor Skalarprodukt Komponenten Matrix Transformation Vielteilchensysteme Bei Systemen mit mehreren Elektronen müssen wir berücksichtigen, dass Elektronen ununterscheidbare Teilchen sind (empirisch) !!! Mehrelektronen – Wellenfunktion Elektronen sind ununterscheidbare Teilchen Zweimaliges Austauschen liefert wieder ursprüngliche Wellenfunktion +1 Bosonen (ganzzahliger Spin) - 1 Fermionen (halbzahliger Spin) … Photon, H – Atom …. Elektron, Proton, Neutron Vorzeichen hat enorme Auswirkungen !!! Relativistische Quantenmechanik Die Formulierung einer relativistisch invarianten Theorie ist in der Quantenmechanik deutlich schwieriger als in der klassischen Mechanik Bosonen … Klein – Gordon – Gleichung Fermionen … Dirac – Gleichung Man erhält Zustände mit negativer Energie. Diese werden als neue Teilchen, nämlich als „Positronen“, interpretiert. In der Quantenfeldtheorie wird eine Theorie entwickelt, die auch Systeme mit einer variierenden Zahl von Teilchen (Elektronen, Positronen) beschreiben kann Konzepte jenseits der (konventionellen )Quantenmechanik Wheeler‘s universe Wenn die Quantenmechanik in der heutigen Form die endgültige Theorie ist, gibt es eine Wellenfunktion Y des Universums. Aber: Wer beobachtet diese Wellenfunktion ? Wie messen wir diese Wellenfunktion ? Was beschreibt diese Wellenfunktion, wenn wir nur | Y |2 physikalisch interpretieren dürfen ? Everettsche Vielweltentheorie Bei einer Messung kollabiert die Wellenfunktion nicht, sondern das Universum teilt sich in zwei (oder mehrere) „Paralleluniversen“. Vorteil: Interpretation benötigt keinen Kollaps der Wellenfunktion bei Messung. Die Wellenfunktion selbst bekommt eine „physikalische Realität“. Nachteil: Existenz (~unendlich) vieler Paralleluniversen. Warum gibt es keine Interferenz zwischen Paralleluniversen ? De-Broglie-Bohm-Theorie Wellenfunktion beschreibt „Führungswelle“ für klassische Teilchen. Umgeht Probleme wie Kollaps und Interpretation, hat allerdings eine Reihe von konzeptionellen Schwierigkeiten. Ghirardi – Rimini – Weber – Theorie Superpositionszustand kollabiert für makroskopische Objekte bei einer bestimmten Distanz. Theorie liefert – ähnlich wie die Bellschen Ungleichungen – Ungleichungen, die experimentell überprüft werden können. Kollaps durch Gravitations – Krümmung des Raums ? (Penrose) Sobald die Atomis beobachtet werden, benehmen sie sich auf einmal ganz anders. Die wundersame Welt der Atomis …
