lecture13

WS 2015 / 16 – Ulrich Hohenester
13. Vorlesung
Was noch fehlt
Konzepte jenseits der Quantenmechanik
Was noch fehlt …
Messung von quantenmechanischen Systemen
Um ein System zu „messen“, muss man es stören und beobachten, wie es auf
die Störung reagiert
Franck – Hertz Experiment
Zeitunabhängige Störung
Nehmen wir an, wir kennen die Lösungen des ungestörten Problems.
Durch die Störung wird es zu einer (kleinen) Änderung der Eigenwerte und
Eigenzustände kommen. Diese Änderungen werden im Rahmen der Störungstheorie berechnet.
Ungestörtes Problem
Kleine Störung
l ist ein Parameter, der die Stärke der äußeren Störung
(elektrisches oder magnetisches Feld) beschreibt.
Experimentell kann l frei gewählt werden. Man kann also
den Einfluß der Stärke der Störung systematisch untersuchen.
Zeitunabhängige Störung
Der Hamiltonoperator inkl. Störung und die gestörten Eigenwerte und Eigenzustände werden in die Schrödingergleichung eingetzt.
Danach fasst man Terme mit derselben Potenz ln zusammen.
Schrödingergleichung
Ordnen nach Potenzen von l
Für das Skalarprodukt zwischen ungestörter und gestörter Wellenfunktion gilt
Zeitunabhängige Störung
Die erste Korrektur zum Energieeigenwert ergibt sich zu :
Die ungestörten Zustände bestimmen die Änderung der Energieeigenwerte
(bei schwacher Störung)
Beispiel Zeemaneffekt : Anlegen eines schwachen Magnetfelds spaltet Linien auf
Zeitabhängige Störung
Auf ähnliche Weise kann man auch vorgehen, wenn die Störung zeitabhängig ist.
Allerdings ist die Rechnung komplizierter.
Hamiltonoperator
Ungestörtes Problem
Allgemeine Lösung
Man findet, dass Übergänge zwischen Eigenzuständen induziert werden können
„Fermis Goldene Regel“
Beispiel Atomspektren
Semiklassische Entwicklung
Für hoch angeregte Zustände kann man die Lösungen der Schrödingergleichung
nach Potenzen des Planckschen Wirkungsquantums entwickeln.
Man erhält damit Korrekturen zur klassischen Lösung.
Beispiel WKB – Näherung
benannt nach
Wentzel, Kramers, Brillouin
Ortsabhängiger Impuls
Näherungsweise Wellenfunktion
Abstrakter Formalismus der Quantenmechanik
Oft ist es günstig, eine abstraktere Formulierung der Quantenmechanik zu wählen,
ein beliebter Zugang wurde von Paul Dirac eingeführt
Analogie mit Vektoren
Vektor
Skalarprodukt
Komponenten
Matrix
Transformation
Paul Dirac
Quantenmechanik im Hilbertraum
Vektor
Skalarprodukt
Komponenten
Matrix
Transformation
Vielteilchensysteme
Bei Systemen mit mehreren Elektronen müssen wir berücksichtigen, dass
Elektronen ununterscheidbare Teilchen sind (empirisch) !!!
Mehrelektronen – Wellenfunktion
Elektronen sind ununterscheidbare Teilchen
Zweimaliges Austauschen liefert wieder ursprüngliche Wellenfunktion
+1 Bosonen (ganzzahliger Spin)
- 1 Fermionen (halbzahliger Spin)
… Photon, H – Atom
…. Elektron, Proton, Neutron
Vorzeichen hat enorme Auswirkungen !!!
Relativistische Quantenmechanik
Die Formulierung einer relativistisch invarianten Theorie ist in der Quantenmechanik deutlich schwieriger als in der klassischen Mechanik
Bosonen
… Klein – Gordon – Gleichung
Fermionen … Dirac – Gleichung
Man erhält Zustände mit negativer Energie.
Diese werden als neue Teilchen, nämlich
als „Positronen“, interpretiert.
In der Quantenfeldtheorie wird eine Theorie entwickelt, die auch Systeme mit einer
variierenden Zahl von Teilchen (Elektronen, Positronen) beschreiben kann
Konzepte jenseits der
(konventionellen )Quantenmechanik
Wheeler‘s universe
Wenn die Quantenmechanik in der heutigen Form die endgültige Theorie ist,
gibt es eine Wellenfunktion Y des Universums.
Aber:
Wer beobachtet diese Wellenfunktion ?
Wie messen wir diese Wellenfunktion ?
Was beschreibt diese Wellenfunktion, wenn wir nur | Y |2 physikalisch
interpretieren dürfen ?
Everettsche Vielweltentheorie
Bei einer Messung kollabiert die Wellenfunktion nicht, sondern das Universum
teilt sich in zwei (oder mehrere) „Paralleluniversen“.
Vorteil:
Interpretation benötigt keinen Kollaps der Wellenfunktion bei Messung.
Die Wellenfunktion selbst bekommt eine „physikalische Realität“.
Nachteil: Existenz (~unendlich) vieler Paralleluniversen.
Warum gibt es keine Interferenz zwischen Paralleluniversen ?
De-Broglie-Bohm-Theorie
Wellenfunktion beschreibt „Führungswelle“ für klassische Teilchen.
Umgeht Probleme wie Kollaps und Interpretation, hat allerdings eine Reihe von
konzeptionellen Schwierigkeiten.
Ghirardi – Rimini – Weber – Theorie
Superpositionszustand kollabiert für makroskopische Objekte bei einer
bestimmten Distanz.
Theorie liefert – ähnlich wie die Bellschen Ungleichungen –
Ungleichungen, die experimentell überprüft werden können.
Kollaps durch Gravitations – Krümmung des Raums ? (Penrose)
Sobald die Atomis beobachtet werden, benehmen sie sich auf einmal ganz anders.
Die wundersame Welt der Atomis …