Teilchen im Kasten

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Teilchen im 1-dimensionalen Kasten
Auffinden der Wellenfunktion
V=
€
V=0
V=
€2
€1
€
€3
L
0
Die Wellenfunktion muss stetig (kein Sprung) und stetig differenzierbar (kein Knick)
sein.
Es ergeben sich folgende Randbedingungen:
Weiter muss die Funktion normiert sein, d.h.
1. € 1 ( 0) € € 2 ( 0)
2. € 2 ( L ) € € 3 ( L )
*
• € € dV € 1
(Die Erl€uterung folgt sp€ter)
Als Ansatz zum Auffinden der Wellenfunktion w€hlen wir:
€ ( x ) € A sin kx ‚ B cos kx
Aus der 1. Randbedingung ergibt sich:
0 € € 1 (0) € € 2 (0) € A sin 0 ‚ B cos 0 € B
ƒB€0
0 € € 3 ( L) € € 2 ( L) € A sin kL € 0
Aus der 2. Randbedingung ergibt sich:
n•
ƒ kL € n• bzw. k €
L
Durch die Einf•hrung der Randbedingungen wurde verursacht, dass nur f•r ganz
bestimmte ganzzahlige n-fache von • L L‚sungen gefunden werden
(€ Quantisierung).
2
„ n• ‡
sin†
x‰ als L‚sung.
L … L ˆ
Dabei ist ƒn„ eine ganze Zahl mit n = 1, 2, ..., die sogenannte Quantenzahl.
Nach Normierung ergeben sich die Wellenfunktionen € n €
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Das Teilchen wird durch seine Wellenfunktion repr€sentiert. In einem Kasten der
L€nge L kann ein Teilchen durch mehrere Wellenfunktionen repr€sentiert werden.
Das Teilchen kann bei einer Messung eine der Wellenfunktionen einnehmen.
Teilchen im Kasten
1,5
Wellenfunktion
1
0,5
0
0%
20%
40%
60%
80%
100%
-0,5
-1
-1,5
X [% von L]
n=1
n=2
n =3
n=4
n =5
Die Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Teilchens in Abh€ngigkeit vom Ort erh€lt man
aus dem Quadrat der Wellenfunktion. F•r den untersten m‚glichen Zustand (n = 1)
erh€lt man die maximale Aufenthaltswahrscheinlichkeit in der Mitte des Kastens. Die
n€chste m‚gliche Aufenthaltswahrscheinlichkeit (n = 2) zeigt jedoch gerade in der
Mitte des Kastens •berhaupt keine Aufenthaltswahrscheinlichkeit. (Dies ist
ƒklassisch„ unsinnig bzw. unm‚glich.)
Teilchen im Kasten
Aufenthaltswahrscheinlichkeit
2
1,8
1,6
1,4
1,2
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
0%
20%
40%
60%
80%
100%
X [% von L]
n=1
n =2
n =3
n=4
n =5
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Mathematische Formulierung der Quantenmechanik
Einige Gr‚…en haben sich als Erhaltungsgr‚…en in der klassischen Mechanik
herausgestellt. Es darf zu keinen widerspr•chlichen Interpretationen zwischen
klassischer und quantenmechanischer Beschreibung kommen. Daher ist es naheliegend, dieselben Gr‚…en als Erhaltungsgr‚…en in der Quantenmechanik zu
postulieren.
1. ErhaltungsgrÄÅen
Sowohl in der klassischen wie auch in der Quantenmechanik sind Energie, Masse,
Impuls und Drehimpuls Erhaltungsgr‚…en.
Aufgeben wollen wir auch das Prinzip der st‚rungsfreien Messung. Ein †Mindestma…‡ an Wechselwirkung ist n‚tig, um eine Messung durchf•hren zu k‚nnen. Der
Begriff Wechselwirkung ist also von zentraler Bedeutung f•r eine Messung, aber
auch generell.
2. Messung
Messung bedeutet Wechselwirkung zwischen einem messenden und einem
gemessenen System. Ohne Wechselwirkung kein Me…ergebnis. Wechselwirkung
bedeutet aber Reduktion auf einige wenige spezielle Zust€nde (Quantisierung) f•r
die •berhaupt eine Wechselwirkung zwischen beiden Systemen (messendes und
gemessenes) existiert.
Wir k‚nnen keinerlei Aussagen •ber ein System machen f•r •ber alle Zeitpunkte zu
denen keine Messung durchgef•hrt wird. Nur zu den (diskreten) Messzeitpunkten
erhalten wir ein Messergebnis. Dieses kann nur gewonnen werden, wenn die beiden
(gleichberechtigten) Systeme, messendes und gemessenes, miteinander wechselwirken.
3. Messergebnis
Zu dem Zeitpunkt der Messung nimmt das gemessene System - verursacht durch
die Messung selbst - einen der m‚glichen Zust€nde ein. Die diesen Zustand
charakterisierenden Werte f•r messbare Gr‚…en k‚nnen als Messergebnis erhalten
werden. Die m‚glichen Messwerte nennt man Eigenwerte.
Zu allen Zeitpunkten an denen keine Messung durchgef•hrt wird, befindet sich das
System in einer ˆberlagerung aller m‚glichen Zust€nde (Eigenzust€nde).
Superpositionsprinzip (Schr‚dinger„s Katze)
Um Messergebnisse vorherberechnen zu k‚nnen, brauchen wir eine mathematische
Repr€sentation unserer Theorie(n).
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4. Mathematische ReprÇsentation
€
Teilchen wie auch Wellen wollen wir einheitlich als Wellen mathematisch
beschreiben.
Die Wellenfunktion enth€lt alle Informationen die •ber ein Teilchen/eine Welle
•berhaupt m‚glich sind.
Die Wellenfunktion
€
selbst kann nicht beobachtet (gemessen) werden. In der
Regel ist die Wellenfunktion eine komplexe (dreidimensionale) Funktion.
€
Š
Die Messung wird durch Anwendung eines Differentialoperators auf die
Wellenfunktion
dargestellt. Zu jeder m‚glichen Messung gibt es einen
€
korrespondierenden Operator
€.
Š
€ € € Š€
Š
Die m‚glichen Messwerte, d.h. Eigenwerte Š , erh€lt man durch Anwendung des
€ auf die Wellenfunktion € . Eigenwerte sind die Ergebnisse, die die
Operators Š
Wellenfunktion - bis auf einen Vorfaktor der keine Wellenfunktionsanteile mehr
enth€lt - reproduzieren. Nur Eigenwerte sind m‚gliche Me…ergebnisse.
€ Š
€
€ €
Š
1 2 ‹ Š 2 Š1
Operatoren, als nichtlineare Funktionen, sind in der Regel nicht in der Reihenfolge
vertauschbar. Es muss die Reihenfolge der Ausf•hrung strikt beachtet werden.
H€ € € E€
Zur ˆbertragung von Formeln aus der klassischen Mechanik ersetzen wir die Gr‚…e
die gemessen werden soll durch den zugeh‚rigen Operator. Sofern wir einen
Eigenwert erhalten, so ist dies einer der m‚glichen Me…werte.
Der bekannteste Operator ist der Energie-Operator oder Hamilton-Operator
H€ .
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Formulierung quantenmechanischer Gleichungen
ˆbersetzung klassischer in quantenmechanische Gleichungen
Um eine klassische Gleichung in eine quantenmechanische Gleichung zu ƒ•bersetzen„ f•hren wir die Operatoren ein und wenden diese auf die Wellenfunktion an:
Beginnen wir einmal mit den Operatoren, die wir f•r die L‚sung des ƒTeilchen-imKasten„-Problems ben‚tigen.
1D
3D
•2 2
•
Œ ‚V
2m
Energie
E € E kin ‚ E pot
•2 ‚ 2
•
‚V
2 m ‚x 2
Impuls
‚
p
• ‚
i ‚x
•‚
Œ
i
Ort
‚
r
x
‚
r
Die Abk•rzung
•
steht f•r
h
2•
•€
.
„ ‚ ‡
† ‰
‚x
‚ † ‚ ‰
†
‰ wird Nabla-Operator genannt und ist ein vektorieller
Der Operator Œ €
† ‚y ‰
† ‚ ‰
† ‰
… ‚z ˆ
Operator.
‚
Œ
2
Meist wird einfach nur Πstatt
geschrieben. Der Operator Πwird LaplaceOperator genannt und ist das Skalarprodukt des Nabla-Operators:
‚2
‚2
‚2
Œ €
‚
‚
‚x 2 ‚y 2 ‚z 2
2
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Den Drehimpulsoperator k‚nnen wir analog zu dem klassischen Drehimpuls
errechnen:
‚ ‚ ‚
L€ rŽ p
„ x‡
† ‰
L€ € r€ Ž p€ € † y‰
† ‰
… zˆ
‚
‚‡
„
„
‚‡
† y •z ‰
† • i• ‰
‚z
‚y ‰
‚x ‰
†
†
‚
‚
‚
‰
Ž † • i• ‰ € • i•†† z • x
†
‰
‚y
‚x
‚z ‰
†
†
‰
‚
‚‰
‚
† x •y ‰
† • i• ‰
…
‚x ˆ
… ‚y
‚z ˆ
Fassen wir die uns nun bekannten Operatoren zusammen, so lauten diese:
r€
E€
•
•
p€ •
L€ •
‚
r
•2 2
•
Œ ‚V
2m
‚
• i• Œ
‚ ‚
• i•r Ž Œ
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Quantenmechanik des Teilchens im 1D-Kasten
V=
€
V=0
V=
€2
€1
€
€3
L
0
Wie wir bereits gezeigt haben, sind die normierten Wellenfunktionen des Teilchens
im Kasten:
€n €
2
„ n•
sin†
L … L
‡
x‰
ˆ
Dabei ist n eine ganze Zahl mit n = 1, 2, ..., die sogenannte Quantenzahl.
Die Wellenfunktion hat keine physikalische Bedeutung bzw. ist nicht me…bar.
Das Teilchen wird durch seine m‚glichen Wellenfunktionen repr€sentiert. In einem
Kasten der L€nge L kann ein Teilchen durch mehrere Wellenfunktionen
repr€sentiert werden. Das Teilchen wird bei einer Messung eine der
Wellenfunktionen einnehmen.
Teilchen im Kasten
1,5
Wellenfunktion
1
0,5
0
0%
20%
40%
60%
80%
100%
-0,5
-1
-1,5
X [% von L]
n=1
n=2
n =3
n=4
n =5
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Aufenthaltswahrscheinlichkeit
Die Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Teilchens in Abh€ngigkeit vom Ort erh€lt man
aus dem Quadrat der Wellenfunktion.
An ( x ) € € n* ( x ) • € n ( x )
F•r den untersten m‚glichen Zustand (n = 1) (rote Kurve) erh€lt man die maximale
Aufenthaltswahrscheinlichkeit in der Mitte des Kastens. F•r n = 2 (orange Kurve) ist
diese jedoch gerade in der Mitte des Kastens Null. Dies ist ƒklassisch„ unsinnig bzw.
unm‚glich.
Teilchen im Kasten
Aufenthaltswahrscheinlichkeit
2
1,8
1,6
1,4
1,2
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
0%
20%
40%
60%
80%
100%
X [% von L]
n=1
n =2
n =3
n=4
n =5
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Erwartungswert des Ortes
Bei einer Vielzahl von Messungen des Ortes des Teilchens k‚nnen wir •ber das
Ergebnis einer einzelnen Messung keine Vorhersagen machen. Wenn jedoch eine
statistisch gro…e Anzahl von Messungen durchgef•hrt wird, dann k‚nnen wir vorhersagen, welchen Wert wir erwarten im Mittel vorzufinden, den Erwartungswert.
x € • € n* x € n dx
L
ۥ
0
L
2
2
2
„ n• ‡
„ n• ‡
„ n• ‡
sin †
x‰ x
sin †
x ‰ dx € • x sin 2 †
x ‰ dx
… L ˆ
L … L ˆ
L … L ˆ
L0
Die zugeh‚rige Stammfunktion findet man in Tabellenwerken oder unter
http://integrals.wolfram.com/index.jsp
•
x 2 x sin(2ax ) cos(2ax )
x sin (ax ) € •
•
4
4a
8a 2
2
Damit ergibt sich als Erwartungswert des Ortes:
L
‘
2n• ‡
2n• ‡ ”
x sin„†
x‰ cos„†
x‰
“
2
… L ˆ
… L ˆ–
2 “x
–
x €
•
•
2
n•
L“ 4
n
•
–
„
‡
4
8† ‰ –
“
L
… L ˆ •0
’
‘
2n• ‡
2n• ‡ ”
„ 2n• ‡ cos„ 2n• L‡
0 sin„†
0‰ cos„†
0‰
L sin†
L‰
†
‰
“
2
2
… L ˆ
… L ˆ 0
… L ˆ
… L ˆ–
2 “L
–
€
•
•
• ‚
‚
2
2
n•
n•
L“ 4
4
n
•
n
•
–
„
‡
„
‡
4
4
8† ‰
8† ‰ –
“
L
L
… Lˆ
… Lˆ •
’
‘
”
“
2
2 “L
1
1 –– L
€
•
‚
€
2
2
L“ 4
n• ‡
n• ‡ – 2
„
„
8† ‰
8† ‰ –
“
… Lˆ
… Lˆ •
’
Der Erwartungswert f•r eine Ortsmessung ist also die Mitte des Kastens.
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Eigenwerte der Energie
Um zu pr•fen, ob es Eigenwerte der Energie gibt, m•ssen wir die Schr‚dingerGleichung f•r das Teilchen im Kasten l‚sen.
H€ € E€
Da wir annehmen (siehe oben), dass das Potential innerhalb des Kastens gleich
Null und au…erhalb gleich unendlich ist, ist der einzige Energiebeitrag die kinetische
Energie. Es ist also zu l‚sen:
•2 ‚ 2
•
€ € E€
2
2m ‚x
Setzen wir die
€n
ein, dann ergibt sich:
•2 ‚ 2
•2 ‚ 2 „ 2
„ n• ‡ ‡
•
€
€
•
sin
• x‰ ‰
†
†
n
2
2
…
2 m ‚x
2 m ‚x … L
L ˆˆ
•2
ۥ
2m
2 ‚ „ n•
n• ‡ ‡
cos„†
• x‰ ‰
†
… L ˆˆ
L ‚x … L
•2
ۥ
2m
2 „ n• ‡
„ n• ‡
• x‰
† ‰ • • sin †
… L ˆ
L… L ˆ
• 2 „ n• ‡
€
† ‰
2m … L ˆ
2
2
2
„ n• ‡
sin †
• x‰
L … L ˆ
h 2n 2• 2
h2
2
€ 2 2 •€ n € n •
•€ n € E n •€ n
8• mL
8mL2
mit
h2
En € n
8mL2
2
Das Teilchen im Kasten besitzt also Energieeigenwerte die au…er von der Masse
des Teilchens vom Quadrat der L€nge des Kastens abh€ngen.
Da n = 1, 2, 3, .... ist, ist die niedrigste m‚gliche Energie
h2
E1 €
. Die Energie
8mL2
E = 0 kann nicht vorkommen! Diese kleinste m‚gliche Energie nennt man
Nullpunktsenergie. Eine derartige Energie ist in der klassischen Physik nicht
bekannt. Wir werden noch sehen, dass diese Energie f•r sehr wichtige Effekte
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verantwortlich ist.
Anmerkung: Um den Term Nullpunktsenergie besser in der Formel abzubilden,
findet man in manchen Quellen f•r die Energieniveaus des Teilchens im Kasten
2
auch die Formel
h
h2
E n € ( n ‚ 1)
mit
n
=
0,
1,
2,
...
und
E
€
0
8mL2
8mL2
2
.
Wie wir leicht sehen, ist eine Vergr‚…erung der Teilchenmasse m mit einer
proportionalen Abnahme der Energieniveaus verbunden. Eine Vergr‚…erung der
Kastenl€nge L jedoch f•hrt zu einer •berproportionalen Abnahme (quadratisch) der
Energieniveaus.
m € 2m
L € 2L
Die Energieniveaus des Teilchens im Kastens k‚nnen mittels spektroskopischer
Methoden nicht direkt beobachtet werden. Die Aufnahme bzw. Abgabe von
Photonen misst den Energieunterschied zwischen den erlaubten Niveaus.
h2
™ E Energieniveaus € —n • n ˜
8mL2
E photon € hƒ (' passendes' Photon)
2
2
2
1
Eigenwerte des Impulses
Wir pr•fen nun, ob der Impuls des Teilchens im Kasten Eigenwerte hat:
p€ € €
• ‚
• ‚
€ €
i ‚x
i ‚x
2
„ n• ‡ • n•
sin†
x‰ €
… L ˆ
L
i L
2
„ n• ‡
cos†
x‰ ‹ p€
… L ˆ
L
Der Impuls hat also keinen Eigenwert und l€sst sich nicht scharf messen.
(Frage: Wie sieht es aus, wenn wir unterteilen in Teilchen die nach ƒlinks„ und
Teilchen die nach ƒrechts„ fliegen?)
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Die Eulersche IdentitÇt
Wir k‚nnen Wellenfunktionen als trigonometrische Funktionen darstellen. Diese
haben aber recht ƒschwierige„ Rechenregeln.
Praktischer ist es Wellenfunktionen als komplexe e-Funktionen darzustellen.
Dabei k‚nnen folgende Umrechnungsformeln verwendet werden:
e ikx € cos kx ‚ i sin kx
e • ikx € cos kx • i sin kx
bzw.
Addition: e ikx ‚ e • ikx € 2 cos kx
Subtraktion:
e ikx • e • ikx € 2i sin kx
bzw.
1 ikx
(e ‚ e • ikx )
2
• i ikx
sin kx €
(e • e • ikx )
2
cos kx €
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Der Tunneleffekt
V=0
V=V
V=0
Einlaufende Welle ~ A
Transmittierte Welle ~ E
Reflektierte Welle ~ B
€1
€2
0
€3
L
Wir wollen eine Wellenfunktion konstruieren, die von -€ bis +€ definiert ist.
€ 1 ( x ) € A1eikx ‚ A2e • ikx
Als Testfunktionen wollen wir verwenden: € 2 ( x ) € B1e k ' x ‚ B2e • k ' x
€ 3 ( x ) € C1eikx ‚ C2e •ikx
Es wird angenommen, dass au…erhalb der Barriere der Wellenvektor k ist und innerhalb der Barrier k€.
1. € 1 ( 0) € € 2 (0)
2. € 2 ( L) € € 3 ( L )
‚
‚
€ 1 ( x ) € € 2 ( x)
‚x
‚x
0
0
‚
‚
€ 2 ( x ) € € 3 ( x)
4.
‚x
‚x
L
L
Die zu erf•llenden Randbedingungen sind: 3.
In den Testfunktionen sind insgesamt 6 Variablen zu bestimmen, wir haben aber erst
vier Randbedingungen aus der Forderung nach Stetigkeit und Stetig-Differenzierbarkeit der Wellenfunktion.
Wir gehen davon aus, dass es bei € 3 nur eine auslaufende Welle (~ C1) aber keine
r•cklaufende Welle gibt (d.h. C2 = 0).
Da wir immer noch eine Gleichung zu wenig haben, um das Gleichungssystem
eindeutig zu l‚sen, ziehen wir uns auf die Bestimmung des Verh€ltnisses zweier
Variablen zur•ck, und zwar der Amplitude der einlaufenden Welle A1 und der
Amplitude der auslaufenden Welle C1.
Physikalisch interpretierbar ist das Verh€ltnis des Quadrates der beiden Amplituden,
denn es gibt an, wie wahrscheinlich ein Teilchen durch diese Barriere durchtritt. Dies
bezeichnet man als Transmission T.
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T€
1.
C1
A1
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2
2
A1 ‚ A2 € B1 ‚ B2
2. B1e k ' L ‚ B2 e • k ' L € C1eikL
Damit ergibt sich:
3. ikA1 • ikA2 € k ' B1 • k ' B2
4. k ' B1e k ' L • k ' B2 e • k ' L € ikC1eikL
Wir formen die Gleichungen 3 und 4 um, indem wir durch ik bzw. k€ teilen.
1.
A1 ‚ A2 € B1 ‚ B2
2. B1e k ' L ‚ B2 e • k ' L € C1eikL
k'
3. A1 • A2 € — B1 • B2 ˜
ik
ik
4. B1e k ' L • B2 e • k ' L € C1eikL
k'
Als n€chstes bilden wir (1)-(3) und (2)-(4) und (2)+(4):
(1) • ( 3)
( 2 ) ‚ ( 4)
( 2 ) • ( 4)
1„
k'
‡
† B1 ‚ B2 • ( B1 • B2 )‰
ˆ
2…
ik
1„
ik ‡ ikL • k ' L
B1 € † 1 ‚ ‰ e e C1
2…
k 'ˆ
1„
ik ‡
B2 € † 1 • ‰ e ikL e k ' L C1
2…
k 'ˆ
A2 €
Diese drei Gleichungen setzen wir in (1) ein.
A1 € B1 ‚ B2 • A2
1
1 k'
€ B1 ‚ B2 • ( B1 ‚ B2 ) ‚
( B • B2 )
2
2 ik 1
1
1 k'
€ ( B1 ‚ B2 ) ‚
( B • B2 )
2
2 ik 1
1„
ik
ik
‡ 1
€ † e • k ' L ‚ e • k ' L ‚ e k ' L • e k ' L ‰ e ikL C1
ˆ 2
2…
k'
k'
1 k ' „ • k ' L ik • k ' L
ik
‡ 1
‚
†e
‚ e
• e k ' L ‚ e k ' L ‰ e ikL C1
ˆ2
2 ik …
k'
k'
1 „ • k ' L ik • k ' L
ik
k'
€ †e
‚ e
‚ e k 'L • e k 'L ‚ e • k ' L ‚ e • k ' L •
2…
k'
k'
ik
k 'L
• k 'L
k 'L
• k 'L
„e ‚e
ik e • e
k ' e k ' L • e • k 'L e k ' L
۠
•
•
‚
k'
ik
2
2
2
…
k ' k 'L
‡ 1
e ‚ e k ' L ‰ e ikL C1
ˆ2
ik
• k'L
‡ 1 ikL
‚e
‰ e C1
2
ˆ 2
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e k 'L ‚ e • k ' L
cosh k ' L €
2
Wir verwenden nun die Hyperbelfunktionen
e k 'L • e • k 'L
sinh k ' L €
2
Damit folgt:
”1
‘
„ k k '‡
A1 € “2 cosh k ' L • i † • ‰ sinh k ' L – eikL C1
… k' k ˆ
•2
’
Das Verh€ltnis der Intensit€ten der einlaufenden Welle und der auslaufenden Welle
*
2
A1* A1 „ A1 ‡ „ A1 ‡
1 A1
€
€† ‰ † ‰
erhalten wir aus: €
T C1 2 C1*C1 … C1 ˆ … C1 ˆ
2
2
bzw. cosh2 x € 1 ‚ sinh2 x ergibt sich:
Mit cosh x • sinh x € 1
A1* A1 „
i „ k k '‡
i „ k k '‡
‡
„
‡
€ † cosh k ' L • † • ‰ sinh k ' L‰ e ikL • † cosh k ' L ‚ † • ‰ sinh k ' L‰ e • ikL
*
ˆ
…
ˆ
C1 C1 …
2 … k' k ˆ
2 … k' k ˆ
i „ k k '‡
i „ k k '‡
€ cosh 2 k ' L ‚ † • ‰ cosh k ' L sinh k ' L • † • ‰ cosh k ' L sinh k ' L
2 … k' k ˆ
2 … k' k ˆ
2
1 „ k k '‡
‚ † • ‰ sinh 2 k ' L
4 … k' k ˆ
2
1 „ k k '‡
€ 1 ‚ sinh k ' L ‚ † • ‰ sinh 2 k ' L
4 … k' k ˆ
2
Es folgt dann:
2
‘
”
1 „ k k '‡
2
T € “ 1 ‚ sinh k ' L ‚ † • ‰ sinh 2 k ' L –
4 … k' k ˆ
’
•
2
‘
„
„ k 2 • k '2 ‡ ‡ ”
1
2
€ “ 1 ‚ sinh k ' L†† 4 ‚ †
‰ ‰‰ –
k
'
k
4
…
ˆ ˆ–
“’
…
•
•1
•1
‘
„ 4 k ' 2 k 2 ‚ k 4 • 2k 2 k '2 ‚ k ' 4 ‡ ”
1
2
€ “ 1 ‚ sinh k ' L†
‰–
2
2
4
k
'
k
…
ˆ•
’
‘
„ k 4 ‚ 2k 2 k '2 ‚ k '4 ‡ ”
1
2
€ “ 1 ‚ sinh k ' L†
‰–
2
2
4
…
'
ˆ•
k
k
’
2
‘
”
1 „ k k '‡
€ “ 1 ‚ † ‚ ‰ sinh 2 k ' L –
’ 4 … k' k ˆ
•
•1
•1
•1
2
2 2”
‘
„
‡
1
k
‚
k
'
€ “ 1 ‚ sinh 2 k ' L†
‰ –
4
… kk ' ˆ –•
“’
•1
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F•r ein freies Teilchen (im Potential V = 0) gilt:
•2 ‚ 2
•
€ € E€
2 m ‚x 2
‚2
€ ‚ k 2€ € 0 mit
bzw.
2
‚x
k€
2mE
•2
F•r ein Teilchen im Potential V €o gilt:
•2 ‚ 2
•
€ € ( E • V )€
2m ‚x 2
‚2
2m
bzw.
€ ‚ 2 ( E • V )€ € 0
2
‚x
•
Es sind nun zwei F€lle zu unterscheiden: E > V und E < V
E > V ist der Fall, bei dem auch klassisch das Teilchen die Barriere •berwinden
kann. Dies ist auch das Ergebnis der quantenmechanischen Rechnung (die hier
nicht durchgef•hrt wird).
Wir wollen hier den Fall E < V weiter untersuchen (= gebundenes Teilchen)
2
Damit ergibt sich:
„
‚2
2m(V • E ) ‡
€ ‚ † ( •1) •
‰ € €0
2
‚x
•2
…
ˆ
‚2
€ • k '2 € € 0 mit
2
‚x
k'€
2 m(V • E )
•2
k„ ist reellwertig.
Wir setzen ein: k €
2mE
•2
und
k'€
2m(V • E )
.
•2
Damit folgt:
2
‘ 1 „ 2mE
•2
2m(V • E ) • 2 ‡
2m(V • E ) 2 ”
2
“
†
‰
sinh
1
T€ ‚
‚
L –
2
•2
2mE ˆ
•2
“’ 4 … • 2m(V • E )
–•
2
‘ 1„
E
V • E‡
2m(V • E ) 2 ”
2
€ “1 ‚ †
‚
L –
‰ sinh
•2
E ˆ
“’ 4 … V • E
•–
•1
‘ 1„ E
2m(V • E ) 2 ”
E
V • E V • E‡
2
€ “1 ‚ †
‚2
‚
L –
‰ sinh
•2
V •E
E
E ˆ
’ 4 …V • E
•
‘ 1„ E
V
2m(V • E ) 2 ”
‡
L –
€ “1 ‚ †
‚ 2 ‚ • 1‰ sinh 2
E ˆ
•2
’ 4 …V • E
•
•1
‘ 1 „ E 2 ‚ V 2 • VE • VE • E 2 ‡
2mL2 (V • E ) ”
2
sinh
€ “1 ‚ †
‰
–
E (V • E )
ˆ
•2
“’ 4 …
–•
‘ 1„ V2
‡
2mL2 (V • E ) ”
2
€ “1 ‚ †
sinh
‰
–
•2
“’ 4 … E (V • E ) ˆ
–•
•1
•1
•1
•1
PC-II-02
Seite 17 von 17
E
Wir f•hren folgende Abk•rzungen ein: „ €
und D €
V
WiSe 09/10
•2
2 m(V • E )
•1
‘
”
“ 1
L–
1
Damit folgt: T € “1 ‚
sinh 2 –
D–
“ 4 E „† 1 • E ‡‰
“’
–•
V … Vˆ
x
•x
e •e
sinh x €
bzw.
2
Mit
L
L
L
•
1 D
L
1 2D
2 L
D 2
sinh
€ (e • e ) š e fÄr ›› 1
D 4
4
D
2L
‘
”
2L
D
‘ 1
•
1
1 D”
16
„
(
1
„
)
e
–
‚
T € “1 ‚
e – €“
“
16„ (1 • „ ) 16„ (1 • „ ) –
’ 4 „ (1 • „ ) 4
•
“’
–•
•1
•1
•1
folgt:
2L
‘
”
16„ (1 • „ ) ‚ e D –
16„ (1 • „ )
“
€
€
2L
“ 16„ (1 • „ ) –
16„ (1 • „ ) ‚ e D
“’
–•
š
16„ (1 • „ )
e
2L
D
€ 16„ (1 • „ ) e
•
2L
D
Die Tunnelwahrscheinlichkeit T h€ngt also ab von der Energie E des Teilchens, der
Barrierenh‚he V und der Masse m des Teilchens.
http://www.almaden.ibm.com/vis/stm/gallery.html
Rohrer und Binning (1986)
U.a. D.M. Eigler : STM rounds up electron waves
at the QM corral. Physics Today 46 (1993) 17-19.
http://de.wikipedia.org/wiki/Tunneleffekt
Auftreten und Anwendungen
1 Kernfusion in der Sonne
2 Biologische Evolution
3 Alphazerfall
4 Zwei-Elektroden-Tunneln
5 Feldelektronen- / Feldionenmikroskop
6 Tunneldiode
7 Supraleitung
8 Rastertunnelmikroskop
9 Magnetischer Tunnelwiderstand
10 Tunneleffekt (Lichttunnel durch Lichthaut)