Wichtige mathematische Symbole

Wichtige mathematische Symbole
Die folgende Liste enthält wichtige Zeichen und Symbole, die vor allem in der
Mathematik, aber z.T. auch in den angewandten Fachbereichen Verwendung
finden. Der Schwerpunkt liegt auf Themen des 1. Semesters, denn gerade hier
stellen mehrdeutige oder unbekannte Symbole eine nicht zu unterschätzende
Schwierigkeit für ein erfolgreiches Studium dar.
Die Symbole sind grob thematisch sortiert, die Liste erhebt jedoch keinerlei Anspruch auf Vollständigkeit. Präzise Definitionen finden Sie in den Lerneinheiten
und Fachbüchern.
Verschiedene Zeichen und Buchstaben
Griechische
klein groß
α
A
β
B
γ
Γ
δ
∆
ε, E
ζ
Z
η
H
ϑ, θ
Θ
ι
I
κ
K
λ
Λ
µ
M
Buchstaben
Name
lat.
Alpha
a
Beta
b
Gamma
g
Delta
d
Epsilon
e
Zeta
z
Eta
ē
Theta
th
Iota
i
Kappa
k
Lambda
l
My
m
ν
ξ
o
π
%, ρ
σ
τ
υ
ϕ, φ
χ
ψ
ω
N
Ξ
O
Π
P
Σ
T
Y
Φ
X
Ψ
Ω
Ny
Xi
Omikron
Pi
Rho
Sigma
Tau
Ypsilon
Phi
Chi
Psi
Omega
n
x
o
p
r
s
t
y, u
ph, f
ch
ps
ō
Einige Verwendungen der Buchstaben in der Geometrie (häufig werden Großbuchstaben für Punkte, Flächen und Volumina; Kleinbuchstaben für Strecken
verwendet)
Geometrie
α, β, γ, ϕ
b
r,d,h
U,A,O,M,V
ω
λ, µ
r, %
Winkel
Bogenmaß
Radius, Abstand/Durchmesser, Höhe
Umfang, Fläche, Oberfläche, Mantelfläche, Volumen
(Kreis-)Frequenz
reelle Konstanten
Radius (im R3 )
In der Analysis und Algebra werden lateinische Buchstaben häufig wie folgt
verwendet.
Analysis und Algebra
a,b,c
natürliche Zahlen, reelle Konstanten
d
Differential
e
Eulersche Zahl
f,g,h
Funktionen
i,j,k,l
Indexzahlen
i,j
Imaginäre Einheit
m,n
natürliche bzw. ganze Zahlen
o
(kleine) Restfunktion
p,q,r,s
Polynome, rationale Zahlen
t,u
Parameter
u,v,w
Substitutionen, alternative Koordinaten
x,y,z
Variablen, Koordinaten
z
Komplexe Zahl z = x + iy
Großbuchstaben Punkte, Mengen, Matrizen, Funktionen
Spezielle Zeichen und Buchstaben
+ − Summe, Differenz
± ∓ Plus oder Minus, Minus oder Plus
· ∗ × Multiplikation (auch xy = x · y)
÷/
Division (auch x/y = x · y −1 )
π
Kreiszahl pi: π = 3, 14159265358979323846264338327950288419 . . .
e
Eulersche Zahl: e = 2, 718281828459045235360287471352662497 . . .
∞
Unendlich
ε0
oft als beliebig kleine positive Zahl in der Grenzwertrechnung
verwendet, also im Sinne ε0 → 0
a hai Mittelwert von an
Mengen und Intervalle
Meist werden Mengen mit großen lateinischen Buchstaben angegeben und die
Elemente der Mengen (Zahlen, Variablen etc.) mit kleinen.
Symbol
N
alternativ
N0 , N
N+
N+ , N
Z
Q
R
C
D
W
L
[a; b]
(a; b)
[a; b)
(a; b]
R+
R0,+
{}
R 2 , R3
Rn
A×B
Rm×n
∈
∈
/
⊂
⊃
∪
∩
Z
Q
R
C
D
W
L
]a; b[
[a; b[
]a; b]
(0; ∞)
[0; ∞)
∅∅
Bedeutung/Beispiel
Menge der natürlichen Zahlen (einschl. der 0):
{0; 1; 2; 3; ...}
Menge der positiven natürlichen Zahlen:
{1; 2; 3; ...}
Menge der ganzen Zahlen: {0; ±1; ±2; ±3; ...}
Menge der rationalen Zahlen
Menge der reellen Zahlen
Menge der komplexen Zahlen {z : z = x + iy; x, y ∈ R}
Definitionsbereich
Wertebereich
Lösungsmenge
geschlossenes Intervall
offenes Intervall
(rechtsseitig) halboffenes Intervall
(linkssseitig) halboffenes Intervall
positive reelle Zahlen
nicht-negative reelle Zahlen
Leere Menge (nicht: {0}!)
2- bzw. 3-dimensionaler Raum (Vektorraum)
n- bzw. beliebig-dimensionaler (Vektor-)Raum
Kartesisches Produkt zweier Mengen
m × n-dimensionaler kartesicher Raum (→ Matrizen)
„Element von“ (z.B. 2, 5 ∈ Q)
„nicht Element von“ (z.B. 2, 5 ∈
/ N)
„Teilmenge von“ (z.B. N ⊂ R)
„Obermenge von“ (z.B. N ⊃ 2; 4; 6; . . .)
„Vereinigungsmenge“ (A ∪ B = {x : (x ∈ A) ∨ (x ∈ B)})
„Schnittmenge“ (z.B. A ∩ B = {x : (x ∈ A) ∧ (x ∈ B)})
Syntax, Relationen und Logische Operatoren
Symbol
;
:
|
...
(·)
alternativ
,
:
[·] •
Bedeutung/Beispiel
Trennung von Variablen, Satzteilen
(z.B. L = {0; 1; 2, 5})
„gilt:“ (z.B.: ∀x ∈ R : x2 ≥ 0)
„mit der Eigenschaft:“ (z.B.: M = {x ∈ R : x2 > 1})
usw., logische Fortsetzung (z.B.: {0; 0, 5; 1; 1, 5; 2; ...})
Platzhalter für einen ganzen Ausdruck,
Wiederholungszeichen
Logische Symbole
Symbol alt. Bedeutung/Beispiel
= 6=
gleich; ungleich
>≥
größer als; größer oder gleich; sehr viel größer als
<≤
kleiner als; kleiner oder gleich; sehr viel kleiner als
≈
∼
näherungsweise gleich
∼
∝
Proportional zu...
:= =:
linke (rechte) Seite wird definiert zu...
⇒
aus (linke Seite) folgt ...
⇔
Äquivalenz, aus einer Seite folgt die andere und
umgekehrt
:⇔ ⇔:
linke (rechte) Seite ist per definitionem gleichwertig
¬
nicht
∧
und
∨
oder und
\
ohne
◦
Verknüpfung zweier Aussagen
V
∀
„für alle“ (z.B. ∀x ∈ R : x2 ≥ 0)
W
∃
„existiert (mindestens) ein“ (z.B. ∀y ∈ R0 , +∃x ∈ R : x2 = y)
1
∃
∃!
„existiert genau ein“
@
¬∃ „existiert kein“
Vektoren
Symbol
alternativ
~v
vvvv
|~v |
~ev
v
~rA
~vA B
dAB
~a ± ~b = ~c
~a · ~b = c
~a × ~b = ~c
[~a~b~c] = V
∠~a~b
~a⊥~b
~ak~b
êv v̂
−→
OA
−−→
AB
AB
~a~b (~a; ~b) < ~a; ~b >
~a ∧ ~b [~a; ~b]
Bedeutung/Beispiel


v1
 v2 


Vektor ~v =  . , ~v ∈ Rn
 .. 
vn p
Betrag von ~v , |~v | = v12 + v22 + . . . + vn2
Einheitsvektor von ~v (~ev = |~~vv| )
Ortsvektor eines Punktes ~rA = (ax ; ay ; az )
Verbindungsvektor zweier Punkte
Abstand zweier Punkte
Vektoraddition (-Subtraktion)
Skalarprodukt (inneres Produkt)
Vektorprodukt (äußeres Produkt)
Spatprodukt ([~a~b~c] = ~a · (~b × ~c))
Winkel zwischen ~a und ~b
~a senkrecht auf ~b (~a · ~b = 0)
~a parallel zu ~b (~a × ~b = 0)
Matrizen
Symbol
A
alt.
AA
Bedeutung/Beispiel
Matrix A ∈ Rm×n
E
AT
A−1
det(A)
A · ~x = ~b
(A|~b)
I1
Einheitsmatrix
Zu A transponierte Matrix
Inverse Matrix von A, A · A−1 = E
Determinante von A
Lineares Gleichungssystem (LGS) in Matrizendarstellung
Erweiterte Koeffizientenmatrix eines LGS
|A|
Funktionen
Eine Funktion ist eine eindeutige Abbildung von Elementen einer Menge (Variablen) auf ein Element einer weiteren Menge (Wert).
f : M
−→
x 7−→
N
y = f (x)
oder kurz: y = f (x). In der Mathematik werden meist x als Variable und y als
Wert verwendet und der Graph einer Funktion in der x−y-Ebene eingezeichnet.
In technischen Bereichen werden in der Regel andere Variablen verwendet (z.B.
(ideale Gasgleichung)).
V (p, T ) = nRT
p
Funktionen allgemein
Symbol
alt.
y = f (x)
F (x, y) = 0
y = f (x1 , . . . , xn )
f −1 (x)
f (x0 )
f (g(x))
y = f (~x)
f (x)|x0
f ◦ g(x)
M −→ N
x 7−→ y
(an )n∈N
lim f (x)
x→x0
Bedeutung/Beispiel
Funktion in expliziter Darstellung (z.B. y = x2 )
Funktion in impliziter Darstellung
(z.B. y − x2 = 0)
Funktion mehrerer Variablen
1
Umkehrfunktion (nicht f (x)
!)
Funktionswert an der Stelle x0
Verknüpfung zweier Funktionen f (x) und g(x)
z.B. f (x) = sin(x), g(x) = x2
⇒ f (g(x)) = sin(g(x)) = sin(x2 )
Abbildung einer Menge M auf eine Menge N
Zuordnung eines Elements x ∈ M auf einen
Wert y ∈ N
Zahlenfolge (z.B. (2n + 1)n∈N = 1; 3; 5; 7; . . .)
Grenzwert einer Funktion
Meist (aber nicht immer!) gilt folgende Vereinbarung:
Funktionen beziehen sich auf einen Term bis zum nächsten Additions- oder
Subtraktionszeichen, andernfalls muss der Term in der Funktion eingeklammert
werden. Am besten klammert man den Term auf den sich die Funktion bezieht
immer ein!
Beispiele:
1/x + 1 =
1
+1;
x
1/(x + 1) =
1
x+1
sin x + 1 = 1 + sin(x) 6= sin(x + 1).
Eindeutig wäre für den ersten Ausdruck der zweiten Zeile: sin(x) + 1.
Potenzfunktionen
Symbol
alternativ
n
x
√
1
n
x
xn
ax
ex
exp(x)
loga (x)
ln(x)
lg(x)
log(x) log10 (x)
ld(x)
lb(x) log2 (x)
Bedeutung/Beispiel
Potenzfunktion
Wurzelfunktion, n-te Wurzel aus x
Exponentialfunktion zur Basis a
Exponentialfunktion (zur Basis e)
Logarithmus von x zur Basis a
Natürlicher Logarithmus (zur Basis e)
Logarithmus zur Basis 10
Logarithmus zur Basis 2
Trigonometrische- und Arcus-Funktionen
Symbol
alternativ Bedeutung/Beispiel
sin(x)
Sinus von x („Gegenkathete durch Hypothenuse“)
cos(x)
Kosinus von x („Ankathete durch Hypothenuse“)
sin(x)
)
tan(x)
Tangens von x (tan(x) = cos(x)
1
cot(x)
Kotangens von (x) (cot(x) = tan(x)
)
1
−1
arcsin(x)
sin (x) Umkehrfunktion von sin(x) (nicht: sin(x)
)
−1
arccos(x)
cos (x) Dito
arctan(x) tan−1 (x) Dito
arccot(x)
cot−1 (x) Dito
Es gilt:
cos2 (x) + sin2 (x) = 1 (Trigonometrischer Pythagoras)
Hyperbolische- und Area-Funktionen
Symbol
alternativ Bedeutung/Beispiel
sinh(x)
Sinus hyperbolicus von x (sinh(x) = 12 (ex − e−x ))
cosh(x)
Kosinus hyperbolicus von x (cosh(x) = 12 (ex + e−x ))
sinh(x)
tanh(x)
Tangens von x (tanh(x) = cosh(x)
)
1
coth(x)
Kotangens von (x) (coth(x) = tanh(x)
)
−1
1
arsinh(x) sinh (x) Umkehrfunktion von sinh(x) (nicht: sinh(x)
)
−1
arcosh(x) cosh (x) Dito
artanh(x) tanh−1 (x) Dito
arcoth(x) coth−1 (x) Dito
Es gilt:
cosh2 (x) − sinh2 (x) = 1 (Hyperbolischer Pythagoras)
Bemerkung: Im komplexen gilt für die trigonometrischen Funktionen analog zu
den hyperbolischen Funktionen:
1
sin(x) = 2i
(eix − e−ix ) und cos(x) = 21 (eix + e−ix )
Spezielle Funktionen
Symbol alternativ Bedeutung/Beispiel
(
x,
x≥0
|x|
Betragsfunktion:
−x, x < 0
bxc
floor(x)
Abrundungsfunktion (z.B: b2, 7c = 2; b−1, 6c = −2)
dxe
ceil(x)
Aufrundungsfunktion (z.B: d2,
7c = 3; b−1, 6c = −1)

x>0
1,
sgn(x)
Vorzeichenfunktion: sgn(x) = 0,
x=0


−1, x < 0
∆x
x2 − x1
Differenz zweier Werte
n
P
P
ak
ak Summe von n − m + 1 Elementen ak :
k=m
m≤k≤n
am + am+1 + . . . + an−1 + an
8
P
z.B:
k 2 = 32 + 42 + 52 + 62 + 72 + 82 = 199
n
Q
k=3
ak
k=m
n!
n
k
Produkt, analog zur Summe
n
Q
k
n-Fakultät: n! = 1 · 2 · 3 · . . . · n
k=1
Binominalkoeffizient n über k,
n
k
=
n!
k!(n−k)!
Operatoren
Symbol
alternativ
df (x)
dx ;
0
f (x)
Dx f (x)
f 00 (x); f 000 (x)
d(n) f (x)
;
dx(n)
f (n) (x)
df (x) dx (n)
Dx f (x)
Bedeutung/Beispiel
Ableitung von f (x) nach der
Variablen x
Zweite und dritte Ableitung
von f (x)
Höhere (n-te) Ableitung von f (x)
Ableitung von f (x) an der
x0
v̇
dv(t)
dt
∂
∂x f (x, y, z)
Dx f (x, y, z); df (x, y, z)
Rb
Stelle x = x0
Parameterableitung von v(t)
(oft mit t als Zeit)
Partielle Ableitung einer Funktion
mehrerer Variablen nach x
Integral von f (x)
f (x)dx
a
Komplexe Zahlen
Symbol
i
Re(z)
Im(z)
z
alternativ
j
|z|
cis(x)
|z|
eix
z∗
Bedeutung/Beispiel
√
Imaginäre Einheit i = −1
Realteil x einer komplexen Zahl z = x + iy
Imaginärteil y einer komplexen Zahl z = x + iy
Die zu z = x + iy konjugiert komplexe Zahl
z = x − iy
p
Betrag von z: |z| = x2 + y 2
Abkürzung für eix = cos(x) + i sin(x)