Übungen zu MAPLE (W. Büttner)

Übungen zu MAPLE (W. Büttner)
Hinweis: In den folgenden Aufgaben wird die Heaviside-Funktion
(= ‚Einheitssprungfunktion‘) stets mit  (t ) bezeichnet!
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t2
35) a) Stellen Sie die Funktion f (t )  cos( 5 t ) exp(  ) im Intervall
20
 10  t  10 grafisch dar.
b) Berechnen Sie zu f(t) die Fouriertransformierte F ( ) und stellen Sie
diese im Intervall  10    10 grafisch dar !
Lösung:
F ( )  2 5  cosh(50  ) exp( 125  5  2 ).
36) Schalten Sie mit Hilfe von Sprungfunktionen die Funktion f (t )  sin(10 t )
 ) in t=0 ein und bezeichnen Sie die entstehende Funktion mit f1 (t )
 ) in t=5 ein und in t=20 wieder aus und bezeichnen Sie die entstehende
Funktion mit f 2 (t ) .
Berechnen Sie die zugehörigen Laplace-Transformierten F1 ( s) und F2 (s).
Berechnen Sie die Fouriertransformierte zu f 2 (t ) und stellen Sie den
Betrag der Fouriertransformierten in  20    20 graphisch dar. Glätten
Sie die Kurve mit einer geeigneten Option, wenn nötig.
37) Führen Sie für die Laplace-Transformierten der beiden Zeitfunktionen f(t)
und g(t) die Abkürzungen F(s) und G(s) ein.
t
Transformieren Sie dann die Funktion h(t )   f ( ) g (t   ) d
in den s-
0
Bereich und das Ergebnis anschließend wieder zurück in den t-Bereich.
38) Transformieren Sie die Funktion
[1  exp(  s T )  exp( 2 s T )  exp( 3 s T )]
G(s) 
s
,
(T  0).
mit der inversen Laplace-Transformation zurück in den Zeitbereich und
stellen Sie die entstehende Funktion g(t) für T=1 in 0  t  4 grafisch dar.
Zusatzaufgabe für die besonders schnellen Studenten/innen:
Z12) In einem System bestehe für die Zeit t  0 zwischen Ursache u(t) (=
‚Eingangsgröße‘) und Wirkung y(t) (= ‚Ausgangsgröße‘) der folgende
Zusammenhang:
R y(t )  uC (0) 
1t
d y(t )
 u (t ) (*)
 y( ) d  L
C0
dt
Für Studierende der Elektrotechnik ist dies die Gleichung für die
Kondensatorspannung uC (t ) in einer RCL -Reihenschaltung, an der die
Spannung u(t) anliegt. y(t) bedeutet hier (ausnahmsweise) die Stromstärke.
a) Führen Sie für die Laplace-Transformierte von y(t) die Abkürzung Y(s)
und für die Laplace-Transformierte von u(t) die Abkürzung U(s) ein.
Transformieren Sie dann die Gleichung (*) in den s-Bereich.
b) Die entstehende Gleichung hat - für den Fall, dass das System für t=0
‚energielos’ ist, d.h. für uC (0)  0 , y (0)  0 - im s-Bereich die Form
Y(s) = G(s) U(s)
(**)
Welchen Ausdruck erhalten Sie somit für die ‚Übertragungsfunktion‘
G(s) ?
Cs
Ergebnis:
G (s) 
1  RC s  LC s2
c) Substituieren Sie nun in G(s) die Werte R=100; C=0,001; L=2.
d) Berechnen Sie nun die Funktion y(t) mit Hilfe der Gleichung (**)
 ) für u (t )  Dirac(t )
[sog. ‚Impulsantwort‘],
 ) für u (t )   (t )
[sog. ‚Sprungantwort‘]
 ) für u (t )  sin( t ) e  t  (t )
und stellen Sie y(t) in jedem der 3 Fälle grafisch dar,
in den Fällen  ) und  ) für 0  t  0,5 , im Fall  ) für 0  t  5 .
Lösungen (gerundet):
 ) y(t )  0,5 e  25 t cosh(11,2 t )  2,24 sinh(11,2 t ) (t )
 ) y(t )  0,0448 e  25 t sinh(11,2 t )  (t )
 ) y (t )  1,46 *10
5
 e  25 t { 83 cosh(11,2 t )  172 sinh(11,2 t ) }

  (t )

t
 { 83 cos( t )  67 sin( t ) } e
