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WS 2007/2008
Blatt 5
19.11.2007
Prof. Dr. Brudern
PD Dr. Dietmann
Dipl.-Math. Keil
Hohere Mathematik I
Aufgabe 1. Wurzelkriterium
Es soll in dieser Aufgabe das sogenannte Wurzelkriterium
untersucht werden.
p
n
Sei dazu (an ) eine Folge reeller Zahlen und r := lim sup jan j sei endlich.
(a) Zeigen Sie, dass
1
P
n=1
an
fur
r <
1 konvergiert und fur
r >
1 divergiert.
Hinweis: (dieser ist auch zu zeigen, wenn
p man ihn verwenden will!)
Alle bis auf endlich viele Werte von n jan j sind im Fall r < 1 kleiner als 1+2 r .
1 n
P
nx f
ur jx j < 1 konvergiert.
(b) Aus der Aufgabe 3 vom Blatt 4 folgt, dass
n=1
Versuchen Sie nun das Wurzelkriterium auf diese Reihe anzuwenden
p und zeigen
Sie, dass aus der bereits bekannten Konvergenzaussage dann lim n n = 1 folgt.
n!1
(c) Sei die Folge (an ) gegeben durch den Startwert a1 = 1 und die Rekursionsformeln: an+1 = 2an fur gerade n und an+1 = a8n fur ungerade n. Wenden Sie
sowohl das Quotienten-, als auch das Wurzelkriterium auf die Reihe
Konvergiert diese?
1
P
n=1
an
an.
Aufgabe 2. Eigenschaften der reellen Exponentialfunktion
Beweisen Sie die folgenden Eigenschaften der Funktion exp : R ! R.
(a) Die Funktion exp ist positiv (d.h. sie nimmt nur positive Werte an) und streng
monoton wachsend. Ist exp : R ! R injektiv?
(f : R ! R heit streng monoton wachsend, wenn aus x < y folgt f (x ) < f (y ).)
(b) Zeigen Sie, dass fur alle n 2 N gilt:
Es existiert ein x0 2 R
, so dass exp(x ) x n fur alle x px0 .
p
1
n
(c) Es gilt exp( n ) = e fur n 2 N und damit exp( ba ) = b e a fur alle a 2 Z; b 2 N.
Aufgabe 3. Etwas Numerik...
(a) In der Physik nahert man oft mit sin(x ) x fur kleine Werte von x .
Zeigen Sie, dass der relative Approximationsfehler im Bereich jx j < 0; 3 kleiner
als 5% und im Bereich jx j < 0; 14 kleiner als 1% ist.
(b) Zu > 0 nde man das grote C > 0, so dass fur 0 < x < C der relative
Fehler kleiner als ist, wenn man 1 1 x durch 1 + x approximiert.
(c) Bestimmen Sie uber die Reihenentwicklung der Exponentialfunktion die Naherungsbruche fur exp( 1), die entstehen, wenn man die Reihe nach dem 7. und 8.
Term abbricht. Bestimmen Sie damit e auf zwei Nachkommastellen genau.
Aufgabe 4. Sinus hyperbolicus und Cosinus hyperbolicus
Die Funktionen sinh(x ) := 12 (exp(x ) exp( x )) und cosh(x ) := 21 (exp(x ) + exp(
sind auf ganz R erklart.
(a) Bestimmen Sie die Reihendarstellungen der beiden Funktionen.
(b) Eine Funktion f : R ! R heit gerade, wenn f ( x ) = f (x ) und ungerade,
x ))
wenn f ( x ) = f (x ) fur alle x 2 R gilt.
Zeigen Sie, dass sinh eine ungerade und cosh eine gerade Funktion ist.
Stellen Sie die Exponentialfunktion als Summe einer geraden und einer ungeraden
Funktion dar. Kann man so eine Zerlegung fur jede Funktion f : R ! R nden?
(c) Zeigen Sie die Identitaten:
(i) sinh(x + y ) = cosh(x ) sinh(y ) + cosh(y ) sinh(x )
(ii) cosh(x + y ) = cosh(x ) cosh(y ) + sinh(x ) sinh(y )
(iii) cosh(x )2 = 1 + sinh(x )2
Abgabe der L
osungen:

Montag, den 26. November in den Ubungen.