Lösungen - TKM (KIT)

Karlsruher Institut für Technologie
Institut für Theorie
der Kondensierten Materie
Übungen zur Theoretischen Physik F
SS 11
Zwischenklausur, Lösungen
14.6.2011
Prof. Dr. A. Shnirman
Dr. B. Narozhny
1. Quickies
(16 Punkte)
(a)
S = −kB Tr [ρ̂ ln ρ̂] = −kB
X
ρn ln ρn .
n
(b)
∆S > 0.
Die Formulierung von Clausius lautet:
Es gibt keine Zustandsänderung, deren einziges Ergebnis die Übertragung von Wärme
von einem Körper niederer auf einen Körper höherer Temperatur ist.
Die Formulierung von Kelvin und Planck lautet:
Es gibt keine Zustandsänderung, deren einzige Ergebnisse das Abkühlen eines Körpers
und das Heben eines Gewichtes sind.
(c)
S(T → 0) → 0.
Extra Punkte:
S(T = 0) = kB ln g,
wo g die Entartung des Grundzustandes ist.
Quantenmechanik: bei T = 0 ist das System in seinem Grundzustand. Das ist ein
reine Zustand. So gilt fr̈ die Dichtematrix
Tr ρ̂2 = 1.
(d) Die Entropie:
∂Ω
S(T, V, µ) = −
∂T
.
V,µ
Der Druck:
P (T, V, µ) = −
∂Ω
∂V
.
T,µ
(e)
F = −kB T ln Z,
wo Z die Zustandssumme ist
Z=
X
n
e−βEn ,
β=
1
.
kB T
(f)
Ω = kB T
X
λ
ln 1 − eβ(µ−ǫλ ) ,
β=
1
.
kB T
Bei λ bezeichnet man die Gesamtheit der Quantenzahlen der Teilchen.
(g)
X
nF (ǫλ ) = N,
λ
wo N die Gesamtteilchenzahl ist.
Elektron-Gas:
λ → (p, σ) ,
Z
X
nF (ǫλ ) = (2s + 1)V
dǫ
λ
ν(ǫ)
= N.
1 + eβ(ǫ−µ)
Diese Gleichung definiert im impliziter Form das chemische Potential als Funktion
von T und N (ν(ǫ) ist die Zustandsdichte).
(h)
N =V
p3F
.
3π 2 ~3
2. Thermodynamik
(5 Punkte)
Laut Definition:
CV,N = T
∂S
∂T
.
V,N
Deswegen bei V, N = konst:
S(T ) = S0 +
ZT
CV,N (T
dT ′
T′
′
)
T0
= S0 +
ZT
T0
dT
′
3 kB N
+ NγT ′
2 T′
T
1
3
+ Nγ T 2 − T02 + S0 .
= kB N ln
2
T0 2
3. System von N nichtwechselwirkenden Spins S = 1 (magnetisches Moment µ)
im Magnetfeld H
(15 Punkte)
(a) Mikrozustände:
(b) Energien:
Eα =
{α} = {m1 , m2 , m3 , . . . , mN } , mi ∈ {−1, 0, 1}
N
X
εi = −µH (m1 + m2 + . . . + mN )
i=1
Die Dichtematrix:
ρα =
1 −βEα
e
.
Z
Die Zustandssumme:
Z =
X
−βEα
e
=
=
i=1
1
X
...
m1 =−1 m2 =−1
α
N
Y
1
X
1
X
eβµH mi
mi =−1
!
=
1
X
exp βµH (m1 + m2 + . . . + mN )
mN =−1
N
Y
Zi
i=1
Die Zi sind offenbar alle gleich
Z = (Z1 )
N
,
Z1 =
1
X
m=−1
(c) Die freie Energie:
βµH m
e
sinh 3βµH/2
=
sinh βµH/2
h
= 1 + 2 cosh βµH
sinh 3βµH/2
F (T, N, H) = −kB T ln Z = −kB T N ln
sinh βµH/2
h
i
= −kB T N ln (1 + 2 cosh βµH)
(d) Die Entropie:
∂F
S(T ) = −
∂T
N,H
Allgemein:
sinh 3βµH/2
S(T ) = kB N ln
sinh βµH/2
−kB N
T → ∞:
Für βµH ≪ 1 :
βµH 3 coth 3βµH/2 − coth βµH/2 .
2
sinh 3βµH/2
≈3
sinh βµH/2
Deswegen
h
i
1 + 2 cosh βµH ≈ 3 .
F (βµH ≪ 1) ≈ −kB T N ln 3
⇒
S ≈ kB N ln 3.
T → 0:
Für βµH ≫ 1 :
Deswegen
sinh 3βµH/2
≈ eβµH
sinh βµH/2
h
1 + 2 cosh βµH ≈ eβµH .
F (βµH ≫ 1) ≈ −kB T N ln eβµH = −µHN
⇒
S ≈ 0.
i
4. Chemisches Potential für zweidimensionales Elektronengas:
(14 Punkte)
(a) Die Gesamtteilchenzahl:
2A
N=
2π~2
p2
2m
−µ
z=
,
kB T
Z
∞
p dp
0
exp
p dp
dz =
,
mkB T
p2
−µ
2m
kB T
+1
3A
N=
mkB T
2π~2
Z
∞
− k µT
B
dz
+1
ez
t
z tb
Z tb 1
dt
e
t b
1
dt
=
ln
e = t −→
= ln
=
−
z +1 t(t
+
1)
t
t
+
1
t
+
1
e
ta
ta
a
ta
ta
z ∞
µ
e
A
A
kB T
mk
T
ln
mk
T
ln
e
N=
=
+
1
B
B
π~2
ez + 1 − µ
π~2
z
Z
b
dz
=
z
e +1
Z
tb
kB T
µ(T ) ergibt sich aus der Bedingung
N(T ) = N(T = 0) =
wobei ǫF = µ(T = 0).
Deswegen:
µ
ǫF = kB T ln 1 + e kB T ,
und
A
mǫF ,
π~2
ǫF
µ
e kB T = 1 + e kB T ,
ǫF
µ(T ) = kB T ln e kB T − 1
(b)
kB T ≪ ǫF :
ǫF
ǫ
ǫ
ǫF
ǫF
− k FT
− F
kB T
B
≈
+ ln 1 − e
− e kB T
−1 =
ln e
kB T
kB T
ǫF
BT
−k
µ(T ) ≈ ǫF − kB T e
kB T ≫ ǫF :
ǫF
ln e kB T − 1 ≈ ln
µ(T ) ≈ −kB T ln
"
ǫF −
= ǫF − O e kB T
ǫF
1
+
kB T
2!
ǫF
kB T
2
kB T
ǫF
(c)
µ=0
bei
+ ...
#
ǫF = kB T ln 2,
⇒
Tµ=0 =
ǫF
kB ln 2