L. Frerick / M. Müller WS 2015/16 13.1.2016 10. Übung

L. Frerick / M. Müller
WS 2015/16
13.1.2016
10. Übung zur Einführung in die Mathematik
Abgabe der Hausübungen: bis Mittwoch, 20.1.16, 15:45 Uhr in Kasten E 12.
Versehen Sie bitte Ihre Lösungen mit Ihrem Namen und Ihrer Matrikelnummer!
Tutorium
T11: Zeigen Sie:
(i) ey ≥ 1 + y für alle y ∈ R,
1
1−y
(ii) ey ≤
für y < 1.
T12: Zeigen Sie: Für alle z, w ∈ C gilt
(i) cosh (−z) = cosh (z) , sinh (−z) = − sinh (z) ,
(ii) cosh (z) = cos(iz) , sinh (z) = −i · sin (iz) ,
(iii) sinh (z + w) = sinh (z) cosh (w) + cosh (z) sinh (w) ,
∞
P
z 2ν+1
.
(iv) sinh (z) =
(2ν+1)!
ν=0
Hausübungen
H34: (4 Punkte)
Für k ∈ N\ {1} sei ζ (k) :=
hensatzes)
P∞
1
n=1 nk .
∞
X
Beweisen Sie (unter Verwendung des Doppelrei(ζ (k) − 1) = 1.
k=2
H35: (2+2+2 Punkte)
Beweisen Sie folgenden Satz aus der Vorlesung: Es sei (xn )n∈N eine Folge reeller
Zahlen.
e xn
k
n→∞ xn
(i) Gilt lim xn = +∞, so folgt lim
n→∞
= +∞ für alle k ∈ N.
(ii) Gilt lim xn = −∞, so folgt lim xkn exn = 0 für alle k ∈ N.
n→∞
n→∞
(iii) Gilt lim xn = x0 ∈ R, so folgt lim exn = ex0 .
n→∞
(Schreiben Sie e
n→∞
xn
x0 xn −x0
=e e
und wenden Sie T11 auf y = xn − x0 an.)
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H36: (Formeln von de Moivre, 4 Punkte)
Beweisen Sie, dass für alle x ∈ R und n ∈ N
cos (nx) =
n
X
n
ν
(−1) /2 (sin (x))ν (cos (x))n−ν ,
ν
ν=0
ν gerade
n
X
sin (nx) =
ν=0
ν ungerade
n
(ν−1)/2
(−1)
(sin (x))ν (cos (x))n−ν
ν
gilt. (Verwenden Sie die Eulersche Formel und den binomischen Lehrsatz.)
H37: (9 Punkte)
Zeigen Sie: Für alle z, w ∈ C und x ∈ R gilt
(i) cosh (x) , sinh (x) ∈ R,
(ii)
1 |x|
e
2
≤ cosh (x) ≤ e|x| ,
(iii) (cosh (z))2 − (sinh (z))2 = 1,
(iv) cosh (z + w) = cosh (z) cosh (w) + sinh (z) sinh (w) ,
∞
P
z 2ν
,
(v) cosh (z) =
(2ν)!
ν=0
z
(vi) e = cosh (z) + sinh (z) .
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