Mathematische Methoden der klassischen Physik – Übungsblatt 8

Dr. G. Lechner
Dr. K. Schiele, Dipl.-Phys. S. Sturm, Dipl.-Phys. B. Zocher
Winter 2013/14
Mathematische Methoden der klassischen Physik – Übungsblatt 8
— Besprechung dieser Aufgaben am Freitag, 13.12. —
Aufgabe 23 (Nicht diagonalisierbare Matrix)
Bestimmen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix


3 1 4
J = 0 3 7 ,
0 0 3
und zeigen Sie, dass J nicht diagonalisierbar ist.
Aufgabe 24 (Differentialgleichung der Exponentialfunktion)
Betrachten Sie für eine Funktion f (genauer, eine differenzierbare Funktion, dh eine Funktion,
deren Ableitung existiert, dazu später mehr) die Gleichung
f 0 (t) = c · f (t)
R
R
zwischen f und der Ableitung f 0 , die bei festem c ∈
für alle t ∈
gelten soll. Es soll
gezeigt werden, dass die Lösungen dieser Gleichung genau die Funktionen f (t) = a ect sind,
wobei a ∈ eine beliebige Zahl ist. Prüfen Sie erst, dass die Funktionen f (t) = a ect tatsächlich Lösungen sind. Zeigen Sie dann, dass man so alle Lösungen von f 0 (t) = c f (t) bekommt.
Betrachten Sie dazu die Ableitung von g(t) := f (t) · e−ct (Produktregel erinnern).
R
Tipp: Aus der Schule erinnern Sie sich sicherlich noch daran, dass die Exponentialfunktion
R 3 t 7→ e
t
gleich
ihrer Ableitung ist.
Aufgabe 25 (Ableitungen von sin, cos, sinh, cosh)
Rekapitulieren Sie, wie Sinus und Cosinus durch die komplexen Exponentialfunktionen e±it
dargestellt werden können. Bestimmen Sie die Ableitungen von Sinus und Cosinus, indem Sie
(ohne Begründung) benutzen, dass sich die Ableitung von f (t) = ect genau wie in Aufgabe 24
als f 0 (t) = cect ergibt, auch wenn c eine komplexe Zahl ist.
Definieren Sie weiterhin die Hyperbelfunktionen Sinus Hyperbolicus (sinh) und Cosinus Hyperbolicus (cosh) durch
1
sinh t := (et − e−t ) ,
2
1
cosh t := (et + e−t ) ,
2
und bestimmen Sie die Ableitungen dieser Funktionen. Skizzieren Sie auch die Graphen der
vier Funktionen sin, cos, sinh, cosh.
Aufgabe 26 (Entkoppelung zweier Differentialgleichungen)
Finden Sie alle (differenzierbaren) Funktionen f, g : → , die die beiden Gleichungen
R R
f 0 (t) = (−2a + b) f (t) − b g(t)
g 0 (t) = −b f (t) + (−2a + b) g(t)
R
R
für alle t ∈ erfüllen; hierbei sind f 0 , g 0 die Ableitungen, und a, b ∈ feste Parameter. Gehen
Sie
0 dazu
wiein der
Vorlesung vor, indem Sie die beiden Gleichungen zu einer Vektorgleichung
f (t)
f (t)
= A g(t) mit einer geeigneten Matrix A zusammenfassen. Diagonalisieren Sie dann A
g 0 (t)
und verwenden Sie das Ergebnis von Aufgabe 24, um analog zu dem Vorgehen in der Vorlesung
die Lösung dieser Gleichung zu bestimmen, für die f (0) = 0 und g(0) = 1 gilt.
A
Aufgabe
(Fibonacci-Folge und Diagonalisierung)
Eine schwerere Aufgabe freiwillig für die, die eine Herausforderung suchen. Wird nicht in der
Übung besprochen – wer eine Lösung hat oder eine Lösung sehen will, bitte melden.
Die Fibonacci-Folge f0 , f1 , f2 , .. ist eine Folge natürlicher Zahlen, definiert durch f0 := 0,
f1 := 1, und die Rekursionsvorschrift fn := fn−1 + fn−2 für n ≥ 2. Die ersten Glieder der Folge
sind also 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ....
Ziel dieser Aufgabe ist die Herleitung einer nicht rekursiven Formel für die Folgeglieder, die fn
nur in Abhängigkeit von n, aber nicht in Abhängigkeit von den vorigen Folgegliedern ausdrückt.
Finden Sie dazu zuerst eine (2 × 2)-Matrix T , die für alle n ∈ 0
fn
fn+1
T
=
fn+1
fn+2
N
fn
erfüllt. Überlegen Sie dann, wie man mit Hilfe dieser Matrix fn+1
aus ff01 gewinnt. Für die
gesuchte Formel für fn werden Sie mehrfache Matrixprodukte von T mit sich selbst, T ·T ·...·T ,
berechnen müssen. Dazu empfiehlt es sich, T zu diagonalisieren.
2