5. Übungsblatt - Technische Universität Braunschweig

Technische Universität
Braunschweig
Institut für Physikalische und
Theoretische Chemie
Hans-Sommer-Str. 10, 38106 BS
Prof. Dr. Sigurd Bauerecker
M.Sc. Dominik Pfennig
[email protected]
Mathematische Methoden der Chemie 1 – WS 2015/16
5. Übungsblatt (03./04.12.2015)
www.tu-braunschweig.de/pci/research/bauerecker/lehre/index.html
Thema: Differentialrechnung
Es gilt Taschenrechnerverbot für das gesamte Übungsblatt!
1. Berechnen Sie die jeweils gesuchten Ableitungen folgender Funktionen:
p
d2 τ
d) ε( x ) = x x
a) τ ( β) = 3 β
=?
dβ2
b) m(γ) = tanh(γ)
dm
dγ
=?
c) χ(s) = 14 s2 (2 ln(s) − 3)
d2 χ
ds2
=?
e) a(b) = cos2 (b2 − x3 )
f ) r (y) = |y|
dε
dx
da
db
dr
dy
=?
=?
=?
2
2. Gegeben seien die Funktionen u( x ) = ax2 · e−bx und w( x ) = ( xb )6 · ( xb )6 − 1 .
a) Leiten Sie diese Funktionen wiederholt bis einschließlich zur jeweils dritten Ableitung ab.
(Tipp: Fassen Sie die Ableitungen von u jeweils so zusammen, dass Sie mit nur einmaliger Anwendung
der Produktregel die nächste Ableitung berechnen können.)
b) Bestimmen Sie die Symmetrie der Funktionen und aller in a) ermittelten Ableitungen. Was fällt auf?
gt
3. Auf Übungsblatt 4 war die Funktion v(t) = v E · tanh vE + artanh vvE0
zur Errechnung der Geschwindigkeit beim freien Fall mit Luftreibung gegeben.
a) Bestimmen Sie die erste Ableitung der Funktion v(t).
b) Skizzieren sie die Funktionsverläufe v(t) für den Fall mit und den Fall ohne Luftwiderstand in dasselbe
Koordinatensystem. Es sei jeweils v(0) = 0.
4. Die Temperaturabhängigkeit der Geschwindigkeitskonstante k einer chemischen Reaktion kann mithilfe der
Arrhenius-Gleichung beschrieben werden.
EA
k ( T ) = A · e− RT
Hierbei ist A > 0 der Frequenzfaktor, E A ≥ 0 die Aktivierungsenergie der Reaktion, R = 8, 3145 molJ ·K die
allgemeine Gaskonstante und T > 0 die Temperatur.
a) Skizzieren Sie den Graphen, den Sie erhalten, wenn sie ln(k ( T )) gegen
1
T
auftragen.
b) Leiten Sie die Funktion k wiederholt bis einschließlich zur dritten Ableitung ab.
5.
a) Leiten Sie die Ableitungen der Umkehrfunktionen f −1 ( x ) und g−1 ( x ) von folgenden Funktionen mithilfe der Umkehrregel her: f ( x ) = ex und g( x ) = sin( x ).
b) Die Umkehrfunktion des Sinus kann auch wie folgt ausgedrückt werden:
√
arcsin( x ) = −i · ln(i · x + 1 − x2 ).
d arcsin( x )
Leiten Sie daraus die Ableitung
her und bestätigen Sie damit ihr Ergebnis aus Aufgabe a). Die
dx
imaginäre Einheit i kann hier bei der Ableitung genauso behandelt werden wie eine reelle Konstante.