Brückenkurs 2014

Brückenkurs 2014
7. April 2014
1 Differentiation
Ableitungen geben die Steigung einer Funktion an jedem Ort x an.
Definiert ist die Ableitung durch den Grenzwert des Differentialquotienten.
f (x + ∆x) − f (x)
d
f (x) = lim
∆x→0
dx
∆x
(1)
Unter der Vorraussetzung, dass Ableitungen von einigen elementaren Funktionen bekannst sind, gibt es drei relevante Ableitungsregeln.
Es gilt stets f (x), g(x) stetig diff’bare Fkt’en, sowie λ, µ ∈ R
Summenregel : (λf (x) + µg(x))0 = λ · f 0 (x) + µ · g 0 (x)
0
0
0
Produktregel : (f (x) · g(x)) = f (x) · g(x) + f (x) · g (x)
0
0
0
Kettenregel : (f (g(x))) = g (x) · f (g(x))
(2)
(3)
(4)
Hier die Ableitungen von elementaren Funktionen:
f (x) = 1 → f 0 (x) = 0
0
f (x) = x → f (x) = 1
0
x
x
f (x) = e → f (x) = e
1
f (x) = ln(x) → f 0 (x) =
x
f (x) = sin(x) → f 0 (x) = cos(x)
0
f (x) = cos(x) → f (x) = − sin(x)
1
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
Herleitung der Ableitung einer Polynomfkt mit Hilfe der Produktregel:
f (x) = xn = (x · x · x · · · · · x)
|
{z
}
n mal
f 0 (x) = (x · x · x · · · · · x)0 = x · (x · x · · · · · x)0 +x0 · (x · x · · · · · x)
|
= x · (x
{z
}
n mal
n−1 0
|
{z
n-1 mal
}
|
{z
n-1 mal
}
) + xn−1
= x · (x · (xn−2 )0 ) + x · xn−2 + xn−1
= ···
= xn−1 · x0 + (n − 1)xn−1
= xn−1 + (n − 1)xn−1
= nxn−1
Höhere Ableitungen erfolgen durch wiederholtes Ableiten. D.h. die zweite Ableitung ist
die Ableitung der ersten Ableitung.
Ein lokales Extremum ist, wenn in einer hinreichend kleinen Umgebung die Funktion
den größten bzw. kleinsten Wert annimmt. Es gilt:
f (x̃) ≡ lokales Extremum am Ort x̃
0
f (x̃) = 0
(
f 00 (x̃)
(11)
(12)
> 0 → lokales Minimum
< 0 → lokales Maximum
(13)
Ein globaler Extrempunkt ist der Punkt der den größten oder kleinsten Fkt’wert im
gesamten Definitionsbereich annimmt. Es ist also möglich, dass dies der Wert am Rand
des Definitionsbereichs ist, auch wenn hier die erste Ableitung ungleich Null ist.
2 Taylorreihen
Taylorreihen entwickeln Fkt’en in einer Potenzreihe.
f (x) →
f (x) →
∞
X
1 (n)
f (0)xn Entwicklung um 0
n=0
∞
X
n!
1 (n)
f (x0 )(x − x0 )n Entwicklung um x0
n!
n=0
(14)
(15)
Wenn nach einer Anzahl von Termen die Reihe abgebrochen wird, so approximiert man
die Fkt. in der Umgebung von x0 . Je mehr Terme benutzt werden, umso genauer ist
2
diese Approximation.
f (x) = − sin(x)
n = 1 :fT (x) = −x
x3
6
x3
x5
n = 5 :fT (x) = −x +
+
6
120
∞
X
x2n+1
n → ∞ :fT (x) = −
(−1)n
(2n + 1)!
n=0
n = 3 :fT (x) = −x +
Taylorreihen sind von großer Bedeutung in der Physik, da komplexe Ausdrücke in bestimmter Näherung vereinfacht werden können, so dass ein Weiterrechnen möglich ist.
3 Integration
R
Das Bilden der Stammfunktion F (x) = f (x)dx ist die Umkehropertation der Ableitung. Dies wird auch das Bilden des unbestimmten Integrals bzw. Integration genannt.
Der Fundamentalsatz der Analysis lautet:
F 0 (x) = f (x)
(16)
Das bestimmte Integral ist die vorzeichenbehaftete Fläche einer Funktion zwischen zwei
Punkten a und b (a > b). Diese wird berechnet durch die Differenz von F (a) und F (b).
Z b
f (x)dx = F (b) − F (a)
(17)
a
Der Fundamentalsatz für bestimmte Integrale lautet:
Z b
f 0 (x)dx = f (b) − f (a)
(18)
a
Auch bei der Integration existieren drei relevante Regeln:
Z b
Z b
(λf (x) + µg(x))dx = λ
Summenregel :
a
a
Z b
Z g−1 (b)
f (x)dx =
Substitutionsregel :
a
Z b
partielle Integration :
Z b
f (x)dx + µ
g −1 (a)
0
f (g(y)) · g 0 (y)dy
f (x) · g (x) = f (x) · g(x)
a
3
g(x)dx
(19)
a
|x=b
x=a
−
Z b
a
(20)
f 0 (x)g(x)dx
(21)
Herleitung der partiellen Integration aus der Produktregel:
(f (x) · g(x))0 = f 0 (x) · g(x) + f (x) · g 0 (x)
Z b
(f (x) · g(x))0 dx =
Z b
Z b
a
Z b
a
a
Z b
Z b
a
x=b
f (x) · g(x) |x=a
=
f 0 (x) · g(x)dx +
f 0 (x) · g(x)dx +
f (x) · g 0 (x)dx
f (x) · g 0 (x)dx
a
a
f (x) · g 0 (x)dx = f (x) · g(x) |x=b
x=a −
Z b
f 0 (x) · g(x)dx
a
Weitere nützliche Eigenschaften sind:
Z c
Z b
Z b
f (x)dx +
f (x)dx =
f (x)dx , a ≤ c ≤ b
(22)
a
c
Z aa
f (x)dx = 0
(23)
a
Beispiel für die Anwedung der Regeln:
Z b
ln(x)dx
a
x = ey ,
Z b
Z ln(b)
ln(x) =
a
dx
= ey → dx = ey dy
dy
ln(ey )dy =
ln(a)
y=ln(b)
= yey |y=ln(a) −
Z
Z ln(b)
ydy
ln(a)
ln(b)
y
e dy
ln(a)
ln(a)
= ln(b)eln(b) − ln(a)e
− eln(b) + eln(a)
= ln(b)b − ln(a)a − b + a
Damit lautet die Stammfunktion des Logarithmuses:
Z
ln(x)dx = x ln(x) − x
(24)
4 Komplexe Zahlen
Komplexe Zahlen sind eine Erweiterung der reellen Zahlen in die Ebene. Einer Interpretation von ihnen ist, dass sie ein Paar von reellen Zahlen sind, welches erlaubt, gewisse
Rechenoperationen geschlossen im neuen Raum C durchführen zu können.
Die komplexe Einheit i ist wie folgt definiert:
√
i · i = −1 → −1 = ±i
(25)
4
Es gibt zwei Darstellungsformen, die Kartesische und die Polare.
Bei der kartesischen Form wird eine komplexe Zahl durch ihren Real- und Imaginärteil
dargestellt.
z = a + ib , mit z ∈ C, a, b ∈ R
(26)
Wobei a der Realteil und b der Imaginärteil ist.
Diese Darstellung heiß kartesisch, da sie die Koordinatendarstellung einers Punktes im
R2 über die kartesischen Koordinatenachsen angibt. Addition und Substraktion können
somit als Vektoraddition bzw. -substraktion verstanden werden.
Bei der Polarform erfolgt die Darstellung durch Amplidude und Phase.
z = reiφ , mit z ∈ C, r, φ ∈ R
(27)
|z| = r, arg(z) = φ.
(28)
Man schreibt auch:
Man nennt diese Darstellung polar, da sie die Koordinatendarstellung eines Punktes im
R2 über die Polarkoordinaten angibt.
Die Eulersche Gleichung lautet:
eiφ = cos(φ) + i sin(φ)
(29)
Re(z) = r cos(φ), Im(z) = r sin(φ)
(30)
Daraus folgen die Relationen.
Der Betrag von z lässt sich berechnen durch:
|z| =
p
a2 + b2 =
q
Re(z)2 + Im(z)2
(31)
Die komplexe Konjugation wird definiert durch:
z ∗ = a − ib
(32)
Das Produkt von zwei komplexen Zahlen berechnet sich durch einfaches Ausmultiplizieren.
z1 · z2 = (a1 + ib1 )(a2 + ib2 )
= a1 a2 + ia1 b2 + ib1 a2 + ib1 ib2
= a1 a2 − b1 b2 + i(b1 a2 + b2 a1 )
Bei der Division muss man den Bruch durch das komplex Konjugierte des Nenners
erweitern.
z1
z1 z2∗
=
z2
z2 z2∗
a1 a2 + b1 b2 + i(b1 a2 − b2 a1 )
=
a22 + b22
5
Ziehen von Wurzeln bzw. das Exponentieren geschieht am besten in der Polarform:
z n = rn einφ
Trigonometrische Fkt’en können durch die Eulersche Gleichung komplex ausgedrückt
werden.
1
cos(x) = (eix + e−ix )
2
1
sin(x) = (eix − e−ix )
2i
1
cosh(x) = (ex + e−x )
2
1
sinh(x) = (ex − e−x )
2
(33)
(34)
(35)
(36)
5 Differentialgleichung
Differentialgleichungen sind vielleicht das Kernkonzept der theoretischen Physik. Anders
als bei normalen Gleichungen, die man durch Umstellen nach einer Variablen löst, muss
man hier eine Fuktion finden, über die Informationen bzgl. ihrer Ableitungen vorliegen.
Neben der Differentialgleichung benötigt man meist Randbedingungen, um die gesuchte
Funktion eindeutig lösen zu können.
Die Anzahl der freien Parameter der Lösung ohne Randbedingungen ist dabei gleich dem
Grad der höchsten Ableitung, die in der Dgl vorkommt.
Ein Besipiel für eine einfache Dgl 2. Ordnung lautet:
d2
f (x) = 1
dx2
Mit der Lösung f (x) = 12 x2 + bx + c, wie sich durch Ableiten und Einsetzten leicht
beweisen lässt.
Einfache Dgl’s kann man durch einfaches Integrieren lösen.
Hierzu das Beispiel von oben:
d2
f (x) = 1
dx2
Z
d2
f (x)dx = 1dx
dx2
d
f (x) + b1 = x + b2
dx
Z
Da b1 und b2 nicht voneinander abhängen, kann definiert werden:
b2 − b1 = b →
d
f (x) = x + b
dx
6
Da noch immer die Dgl nicht gelöst ist, muss noch einmal integriert werden:
Z
d
f (x)dx =
dx
Z
(x + b)dx
1
f (x) = x2 + bx + c
2
Durch zweifachen Ableiten kann die Richtigkeit überprüft werden:
1
f (x) = x2 + bx + c
2
f 0 (x) = x + b
f 00 (x) = 1
Nun können Randbedingungen gegeben sein. Z.B. f 0 (0) = 1 und f (0) = 0. Einsetzten
liefert:
1=b
0=c
Damit ergibt sich die Fkt. zu:
1
f (x) = x2 + x
2
Ein weiteres Verfahren ist das Lösen durch Trennung der Variablen. Hier werden Ableidy
tungen in der Schreibweise dx
benutzt. Ziel ist es hier, Variablen und Differentiale einer
Sorte auf jeweils eine Seite zu bringen und diese dann zu integrieren.
Auch hier ein Beispiel:
y0
dy
y2
Z
dy
y2
1
−
y
= y2
= dx
Z
=
dx
=x+c
y(x) = −
1
x+c
Im Fall einer homogenen, linearen Dgl 2. Ordnung hilft das Raten eines Ansatzes weiter.
Eine solche Dgl lautet:
y 00 (x) + a1 y 0 (x) + a2 y(x) = 0
Es wird der folgende Ansatz und seine Ableitungen benutzt:
y(x) = Ceλx
y 0 (x) = λCeλx
y 00 (x) = λ2 Ceλx
7
Einsetzten in die Dgl liefert.
Ceλx (λ2 + a1 λ + a2 ) = 0
Die Gleichung ist genau dass erfüllt, wenn gilt:
λ2 + a1 λ + a2 = 0
Diese Gleichung wird auch das charakteristisches Polynom der Dgl genannt.
Wenn gilt λ1 6= λ2 , so ist die Lösung:
y(x) = C1 eλ1 x + C2 eλ2 x
Wenn hingegen gilt λ1 = λ2 , so ist die Lösung:
y(x) = C1 eλx + C2 xeλx
8