für eine stetige Funktion f e C[a,b] Um das Polynom pd(x) von Grad

für eine stetige Funktion f e C[a,b]
Um das Polynom pd(x) von Grad d eindeutig bestimmen zu können braucht man d+1
Stützstellen. In unserem Fall hätten wir d+1 = 10 => d = 9 (Polynom 9. Grades). Außerdem
müssen die Stützstellen paarweise disjunkt sein.
Verfahrensfehler:
p d ( x)  f ( x) 
M d 1
 d 1 ( x) ,
(d  1)!
x  [a, b]
Für ein großes n wären die Tschebyscheff-Knoten zur Erzeugung des Polynoms zu raten, da
diese eine viel geringere Kondition im Gegensatz zu anderen Verfahren, wie zB mit
äquidistanten Knoten, enthält. Dieses Verfahren behält mit Anstieg des Polynomgrades eine
gleichmäßige Qualität.
Da hier die exakten Daten von einer glatten Funktion entstammen, scheint das Problem gut
konditioniert zu sein. Weiters hat man hier ein Polynom von Grad 14 und somit 15
Stützstellen, womit äquidistante Stellen als Interpolationsknoten sicherlich gute Ergebnisse
liefern würde.
Eine kubische Spline Funktion ist ein stückweise zusammengesetztes Polynom 3. Grades
welches an den Knoten in der 1. und 2. Ableitung übereinstimmt.
Natürliche Randbedingung: 2. Ableitung in den Randpunkten wird 0 gesetzt.
Hermite Randbedingung: 1., 2. Ableitung werden in den Randpunkten geschätzt indem ein
Polynom 3. Grades durch die ersten/letzten 4 Stützstellen gelegt wird.
Not-a-knot Bedingung: 3. Ableitung um Punkt x1 bez. xk-1 gleichsetzten (1., 2. Ableitung stetig).
Periodische Randbedingung:
s(a )  s(b )
s(a )  s(b )
Nachteile:
 Globale Approximation  Änderung von einem Punkt erfordert Neuberechung der
ganzen Kurve
 Kann deshalb bei großen linearen Gleichungssystemen ineffizient werden
Vorteile:
 Glattes Aussehen bei sprunghaften Daten
 Speicherplatzeffizientz
Der Fehler der Spline-Interpolation nimmt mit der vierten Potenz von h ab, dh es gilt
||sh – f||∞ = O(h4)
Zusammensetzung aus Polynomen 3. Grades
1. Ableitung muss stetig sein
Zum Berechnen nötig: Knotenpunkt + Näherung der 1. Ableitung
Vorteile:
 Rechenzeiteffizienz
 Lokale Interpolation
 Speicherplatzeffizienz
 Günstige Form
Nachteile:
 Kein glattes Aussehen bei sprunghaftem Verhalten der Daten
a.)
b.)
c.)
falsch
wahr
wahr