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Funktionen und ihre Form

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Quotienten Form
π‘₯2 βˆ’ 1
𝑓(π‘₯) =
π‘₯
Funktionen und ihre Formen
Produktform
𝑓(π‘₯) = π‘₯ 2 (π‘₯ βˆ’ 1)
und wie das beim Ableiten
Summen/Differenzenform
𝑓(π‘₯) = π‘₯ 2 + π‘₯ βˆ’ 1
οƒ Polynomfunktion
𝑒π‘₯
𝑓(π‘₯) =
π‘₯βˆ’1
𝑓(π‘₯) = 𝑒
Quotientenregel
1.Bestimmen Sie die
Nebenfunktionen u(x) und
v(x)
𝑒(π‘₯)
𝑓(π‘₯) =
𝑣(π‘₯)
Produktregel
1.Bestimmen Sie die
Nebenfunktionen u(x) und v(x)
𝑓(π‘₯) = 𝑒(π‘₯) βˆ™ 𝑣(π‘₯)
Die Summanden werden
einzeln abgeleitet
entsprechen den Regel die
für Sie gelten
2. Leiten Sie die Funktionen u(x)
und v(x) wie gewohnt nach den
entsprechenden Regeln ab
οƒ Überlegen Sie Sich ob die
Funktion faktorisierbar ist so
ist dies sinnvoll für die
Nullstellen Berechnung und
man kann zwischen der
Produktregel und der
Ableitung aller einzelnen
Summanden wählen.
2. Leiten Sie die Funktionen
u(x) und v(x) wie gewohnt
nach den entsprechenden
Regeln ab
3.Fügen Sie die Ergebnisse in
die untenstehende Formel
ein
/
/
𝑒 π‘£βˆ’π‘£ 𝑒
/
𝑓 (π‘₯) =
𝑣2
βˆ’π‘₯
2
(π‘₯ βˆ’ 1)
3.Fügen Sie die Ergebnisse in die
untenstehende Formel ein
/
/
/
𝑓 (π‘₯) = 𝑒 𝑣 βˆ’ 𝑣 𝑒
2π‘₯
hilft
Exponentialform
𝑓(π‘₯) = 𝑒 π‘₯
π‘₯
𝑓(π‘₯) = 𝑒 βˆ’ 𝑒
οƒ Ausklammerbare Funktion
𝑓(π‘₯) =
2 βˆ’2π‘₯+1
π‘₯βˆ’1
𝑒 2π‘₯
Kettenregel
1.Für die
Exponentialfunktion gilt
folgende Ableitungsregel:
Logarithmusform
f(x) = log10(π‘₯)
=
ln(π‘₯)
ln(10)
𝑓(π‘₯) = ln(π‘₯ 2 βˆ’ 1)
Ableitung des
Logarithmus
2. Für den Logarithmus
gilt folgende
Ableitungsregel:
𝑓(π‘₯) = 𝑒 𝑔(π‘₯)
𝑓(π‘₯) = ln(𝑔(π‘₯))
οƒ g(x) ist eine einfache
Funktion
οƒ g(x) ist eine einfache
Funktion
/
𝑔 (π‘₯)
/
𝑓 (π‘₯) =
𝑔(π‘₯)
/
/
𝑓 (π‘₯) = 𝑔 (π‘₯)𝑒 𝑔(π‘₯)
Beispiel
𝑒π‘₯
𝑓(π‘₯) =
π‘₯βˆ’1
1.Bestimmen Sie die
Nebenfunktionen u(x) und
v(x)
𝑒(π‘₯) = 𝑒
π‘₯
Beispiel
Beispiel
𝑓(π‘₯) = 𝑒 βˆ’π‘₯ (π‘₯ 2 βˆ’ 1)
𝑓(π‘₯) = 𝑒 2π‘₯ βˆ’ 𝑒 π‘₯
𝑓(π‘₯) = 𝑒 π‘₯
1.Bestimmen Sie die
Nebenfunktionen u(x) und v(x)
οƒ Die Funktion ist
faktorisierbar
𝑓(π‘₯) = 𝑒 π‘₯ (𝑒 π‘₯ βˆ’ 1)
1.Bestimmung von g(x)
𝑔(π‘₯) = π‘₯ 2 βˆ’ 2π‘₯ + 1
1.Bestimmung von g(x)
𝑔(π‘₯) = π‘₯ 2 βˆ’ 1
1. Die Summanden werden
einzeln abgeleitet
entsprechen den Regel die
für Sie gelten
2.Ableitung von g(x)
/
𝑔 (π‘₯) = 2π‘₯ βˆ’ 2
2.Ableitung von g(x)
/
𝑔 (π‘₯) = 2π‘₯ βˆ’ 1
3.Einsetzen in die Formel
3.Einsetzen in die Formel
/
𝑔 (π‘₯)
/
𝑓 (π‘₯) =
𝑔(π‘₯)
𝑒(π‘₯) = 𝑒 βˆ’π‘₯ 𝑣(π‘₯) = π‘₯ 2 βˆ’ 1
𝑣(π‘₯) = π‘₯ βˆ’ 1
2. Leiten Sie die Funktionen
u(x) und v(x) wie gewohnt
nach den entsprechenden
Regeln ab
/
𝑒 (π‘₯) = 𝑒 π‘₯
/
𝑣 (π‘₯) = 1
3. Fügen Sie die Ergebnisse
in die untenstehende
Formel ein
/
/
𝑒 π‘£βˆ’π‘£ 𝑒
/
𝑓 (π‘₯) =
𝑣2
/
𝑓 (π‘₯) =
Beispiel
𝑒 π‘₯ (π‘₯ βˆ’ 1) βˆ’ 𝑒 π‘₯
(π‘₯ βˆ’ 1)2
2. Leiten Sie die Funktionen u(x)
und v(x) wie gewohnt nach den
entsprechenden Regeln ab
/
𝑒 (π‘₯) = βˆ’π‘’ βˆ’π‘₯
/
𝑣 (π‘₯) = 2π‘₯
/
𝑓 (π‘₯) = 2𝑒 2π‘₯ βˆ’ 𝑒 π‘₯
3. Fügen Sie die Ergebnisse in die
untenstehende Formel ein
Vgl. (𝑒 2π‘₯ )/ = 2𝑒 2π‘₯
/
/
/
𝑓 (π‘₯) = 𝑒 𝑣 βˆ’ 𝑣 𝑒
Zusatz Ableitung
Produktregel:
/
𝑓 (π‘₯) = βˆ’π‘’ βˆ’π‘₯ (π‘₯ 2 βˆ’ 1) + 2π‘₯𝑒 βˆ’π‘₯
/
𝑓 (π‘₯) = 𝑒 π‘₯ (𝑒 π‘₯ βˆ’ 1) + 𝑒 π‘₯ 𝑒 π‘₯
/
𝑓 (π‘₯) = 𝑒 2π‘₯ βˆ’ 𝑒 π‘₯ + 𝑒 2π‘₯
/
𝑓 (π‘₯) = 2𝑒 2π‘₯ βˆ’ 𝑒 π‘₯
Beispiel
𝑓(π‘₯) = ln(π‘₯ 2 βˆ’ 1)
2 βˆ’2π‘₯+1
/
/
𝑓 (π‘₯) = 𝑔 (π‘₯)𝑒 𝑔(π‘₯)
/
𝑓 (π‘₯) = (2π‘₯ βˆ’ 2)𝑒 π‘₯
2 βˆ’2π‘₯+1
/
𝑓 (π‘₯) =
2π‘₯ βˆ’ 1
π‘₯2 βˆ’ 1
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