Mathematische Grundlagen der Informatik III, WS 2002/03

Mathematische Grundlagen der Informatik III, WS 2002/03
Aufgabenblatt 1
Es geht um die Begriffe „Differenzierbarkeit in einem Punkt“ und „Ableitung“ in einer und
mehreren Veränderlichen, sowie um Berechnung partieller Ableitungen und deren
Zusammenfassung zur „totalen“ Ableitung.
Aufgabe 1.
Gegeben sei die Abbildung f : → , f ( x) = x 2 . Man zeige durch direktes Ausrechnen des
f ( x) − f (2)
= 4 . Hinweis: Man muß also für eine beliebige
Grenzwerts, dass f '(2) = lim
x→2
x−2
f ( xn ) − f (2)
=4.
Folge reeller Zahlen ( xn ) → 2, xn ≠ 2 zeigen, dass lim
n →∞
xn − 2
Aufgabe 2.
an der Stelle x0 := 3 differenzierbar. Es gibt also eine Zahl a ∈
Ableitung von f an der Stelle x0 := 3 , so dass gilt:
→
Sei f :
∀ε > 0 ∃δ > 0∀x ∈
: | x − 3 |< δ →
nämlich die
f ( x) − f (3)
−a <ε .
x−3
Folgern Sie hieraus, dass f an der Stelle x0 := 3 stetig ist. (Dazu muß man die ε , δ − Definition
der Stetigkeit kennen.)
Aufgabe 3.
Sei f :
2
→
gegeben durch f ( x1 , x2 ) = x12 + x2 2 . Sei x 0 :=
( )
0
. Zeigen Sie, dass f in
0
x 0 differenzierbar und daß Df x 0 die Nullabbildung ist, indem Sie direkt nachweisen, dass
∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈
Aufgabe 4.
Sei f : 3 →
: x < δ → f ( x) < ε x .
gegeben durch f ( x1 , x2 , x3 ) = x1 x2 + x2 x3 . Berechnen Sie für den Punkt
1
∂f 0
x := 2 durch direkte Berechnung der partiellen Ableitungen
( x ) die Ableitung
∂xi
3
0
Df ( x 0 ) =
∂f 0 ∂f 0 ∂f 0
( x ),
( x ),
(x ) .
∂x2
∂x2
∂x3