2.Klausur Analysis I 30.03.2009 - Bitte wenden

30.03.2009
2.Klausur Analysis I
Aufgabe 1 (8P, Teilaufgabe=2P)
(a) Formulieren Sie das Leibniz’sche Konvergenzkriterium.
(b) Geben Sie die Definition der Differenzierbarkeit einer Funktion f : (a, b) → R im
Punkt x0 ∈ (a, b) an.
(c) Wie lautet der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung ?
(d) Wann heisst die Funktion f : (a, b) → R streng monoton wachsend ?
Aufgabe 2 (8P, Teilaufgabe=2P)
Geben Sie jeweils ein Beispiel an (ohne Beweis) für
(a) eine integrierbare Funktion f : D → R, die nicht stetig ist.
(b) eine stetige Funktion f : [0, 1] → R, die auf (0, 1) differenzierbar ist und deren
Ableitung f ′ (x) → ∞ für x ց 0 erfüllt.
(c) eine stetige Funktion f : R → R mit f (x) > 0 für alle x ∈ R und
Z R
lim
f (x)dx < ∞.
R→∞
0
(d) eine Folge von Funktionen fn : [0, 1] → R und f : [0, 1] → R, alle differenzierbar,
mit fn (x) → f (x) für n → ∞ für alle x ∈ [0, 1], aber fn′ (x) 9 f ′ (x).
Aufgabe 3 (12P)
(a) Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz und Divergenz. (Teilaufgabe=2P)
(i)
∞
X
k=0
k
k+1
(ii)
∞
X
k=1
1
k(k + 2)
(iii)
∞
X
ek
k=0
k!
(b) Bestimmen Sie die folgenden Grenzwerte. (Teilaufgabe=3P)
n5 + 3n3 + 3
n→∞ 4n5 + n4 + 1
(i) lim
√
(ii) lim ( 9n2 + 3n + 1 − 3n)
n→∞
Aufgabe 4 (4P)
Beweisen Sie mit Induktion nach n folgende Aussage: Für alle n ∈ N ist an = n3 + 5n
durch 6 teilbar.
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Aufgabe 5 (6P, Teilaufgabe=3P)
Seien (ak )k∈N und (bk )k∈N zwei Folgen reeller Zahlen. Beweisen oder widerlegen Sie
folgende Behauptungen:
(a) Konvergieren die Teilfolgen (a2k )k∈N und (a2k+1 )k∈N , so folgt die Konvergenz der
gesamten Folge (ak )k∈N gegen a.
(b) Konvergieren (ak )k∈N und (bk )k∈N , so folgt die Konvergenz von (ak + bk )k∈N .
Aufgabe 6 (8P)
Gegeben sei die Funktion f : R → R, f (x) := x2 cos( x1 ) für x 6= 0 und f (0) := 0.
(a) Berechnen Sie f ′ (a) für a 6= 0. (2P)
(b) Zeigen Sie, dass f auch in a = 0 differenzierbar ist und geben Sie f ′ (0) an. (4P)
(c) Untersuchen Sie, ob lim f ′ (x) = f ′ (0) gilt. Ist die Ableitung f ′ in x = 0 stetig ? (2P)
x→0
Aufgabe 7 (6P)
Berechnen Sie die Taylorreihe für die Funktion f (x) = cos x im Punkt x0 = π2 .
Aufgabe 8 (6P, Teilaufgabe=2P)
(a) Berechnen Sie die Ableitung der Funktion f : (2, ∞) → R, f (x) = ln(ln(x)).
Z R
1
dx existiert.
(b) Untersuchen Sie, ob lim
R→∞ 2 x ln x
∞
X
1
(c) Untersuchen Sie, ob die Reihe
konvergent ist.
k ln k
k=2
Aufgabe 9 (6P)
Sei f : [0, 1] → R stetig Z
und f (x) ≥ 0 für alle x ∈ [0, 1].
x
Zeigen Sie: Aus f (x) ≤
f (t)dt folgt f (x) = 0 für alle x ∈ [0, 1]. Verwenden Sie dazu
0
Z x
den Ausdruck e−x
f (t)dt.
0
Aufgabe 10 (6P)
Sei f : R → R stetig, f (0) = 1 und es gelte f (x + y) ≤ f (x)f (y) für alle x, y ∈ R. Zeigen
Sie mit Hilfe eines Widersprucharguments, dass f (x) > 0 für alle x ∈ R.