(a) f : R → R mit f(x)

Aufgabe 1
Berechnen Sie für die folgenden Funktionen jeweils eine Stammfunktion.
(23P.)
(a) f : R → R mit f (x) = x sin(x2 )
(5P.)
(b) f : R → R mit f (x) = x2 sin(x)
(6P.)
(c) f : R>2 → R mit f (x) =
x3
(x − 2)2 (x2 + 4)
(12P.)
Aufgabe 2
Wir betrachten die Funktionen f, g : R → R mit
(13P.)
f (x) = exp(x2 ) und g(x) = x + 2.
(a) Berechnen Sie die Ableitungen f 0 und f 00 .
(1P./2P.)
(b) Zeigen Sie, dass die Gleichung f (x) = g(x) mindestens eine
positive und mindestens eine negative Lösung besitzt.
(5P.)
(c) Zeigen Sie, dass f 0 − g 0 streng monoton wachsend ist.
(1P.)
(d) Wie viele reelle Lösungen besitzt die Gleichung f (x) = g(x) genau?
Begründen Sie Ihre Antwort.
(4P.)
Aufgabe 3
Berechnen Sie für die Funktion f : R>0 → R mit
(12P.)
1
f (x) = 2 + x x
(a) lim f (x),
(3P.)
(b) die Ableitung f 0 ,
(4P.)
(c) lim f 0 (x),
(3P.)
(d) die kritischen Stellen.
(2P.)
x→∞
x→∞
Bemerkung: Bei den Aufgabenteilen (a) und (c) zählt nur das Ergebnis.
Ein Beweis ist hier nicht erforderlich.
Aufgabe 4
(25P.)
(a) Berechnen Sie
n2 − 2n − 3
1 − 2n
und lim
.
2
n→∞
n→∞ (5 + n)2
4n + 1
lim
(3P./3P.)
(b) Beschreiben Sie möglichst einfach die Menge aller x ∈ R \ {−1}, für die
n
∞ X
2x
1+x
n=1
konvergiert. Geben Sie, falls vorhanden, das Supremum und
das Infimum dieser Menge an.
(c) Untersuchen Sie, ob die folgenden Reihen konvergieren:
∞
∞
X
X
n−2
n+2
und
.
3
3−1
2n
+
1
2n
n=1
n=1
(d) Zeigen Sie, dass die Reihe
∞
P
n=1
1 n2 +1
x
n
(6P.)
(4P./4P.)
für alle x ∈ (−1, 1) konvergiert.
(5P.)
Bem.: Mit Konvergenz ist bei dieser Aufgabe natürlich immer die Konvergenz
gegen eine reelle Zahl und nicht gegen ±∞ gemeint.
Aufgabe 5
Finden Sie jeweils alle komplexen Zahlen z, für die gilt
(a)
z
= 25i,
4 + 3i
(14P.)
(3P.)
(b) z(4 + 3i) = 25i,
(4P.)
(c) z 2 (4 + 3i) = 25i.
(7P.)
Bemerkung: Die Ergebnisse sollen hierbei jeweils in der Form a + bi
mit a, b ∈ R dargestellt werden.
Aufgabe 6
(13P.)
(a) Seien f, g : R → R zwei gleichmäßig stetige Funktionen. Zeigen Sie,
dass dann auch die Funktion f + g gleichmäßig stetig ist.
(8P.)
(b) Zeigen Sie, dass die Funktion h : R → R mit h(x) = x2 nicht
gleichmäßig stetig ist.
(5P.)