¨Ubungsaufgaben Mathematik IV für Studierende der Physik: Blatt 8

Fachbereich
Mathematik
PD Dr. Ralf Holtkamp
Übungsaufgaben Mathematik IV für Studierende der Physik:
Blatt 8 zur (Einzel-)Abgabe am 13.6.2017 (in den Übungen).
Die Lösungen der folgenden Aufgaben sind schriftlich auszuarbeiten und handschriftlich abzugeben.
Aufgabe 1: (2+2 Punkte)
(a) Berechnen Sie
Z∞
(x2
dx
.
+ 1)(x2 + 4)
−∞
(b) Es seien n ∈ N \ {0} und a, b positive reelle Zahlen. Berechnen Sie
Z
∞
−∞
dx
1
= n
(a + bx2 )n
b
Z∞
dx
(x2 + α2 )n
r
mit α :=
a
.
b
−∞
Aufgabe 2: (2+3 Punkte)
(a) Sei z0 ∈ C, r > 0 und sei U eine offene Umgebung von z0 , welche die halbe Kreisscheibe
{z | |z − z0 | ≤ r, Im (z) ≥ Im (z0 )} enthält. Sei g eine holomorphe Funktion auf U \{z0 } die
im Punkt z0 einen einfachen Pol hat.
Für r > ε > 0 sei δε der (einen Halbkreis durchlaufenden) Weg t 7→ z0 + εe−it , t ∈ [−π, 0].
Zeigen Sie durch explizite Integration von g(z) = f (z) + c/(z − z0 ) mit einer geeignet
definierten holomorphen Funktion f , dass gilt:
Z
g(z)dz = −πi · Resz=z0 (g).
lim
ε→0
δε
(b) Nutzen Sie das Ergebnis von Teilaufgabe (a), um zu verifizieren dass
Z∞
sin x
1
dx = Im
x
2
0
Z∞
eix
π
dx =
x
2
−∞
Hinweis: Betrachten Sie für Radien R > > 0 die Aneinanderreihung der folgenden Wege:
γ1 (t) = (1 − t) · (ε − R) − ε
γ2 (t) = εe
−it
t ∈ [0, 1]
t ∈ [−π, 0]
γ3 (t) = ε + t · (R − ε)
t ∈ [0, 1]
it
t ∈ [0, π].
γ4 (t) = Re
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Aufgabe 3: (2 Punkte)
Berechnen Sie mit Hilfe des Residuensatzes (bzw. der Anwendung für Typ 4):
Z∞ √
xdx
.
9 + x2
0
Aufgabe 4: (2+1 Punkte)
(a) Es sei X 6= {0} ein normierter Vektorraum. Außerdem seien S, T : X → X lineare Abbildungen mit ST − T S = idX . Zeigen Sie, dass S und T nicht beide stetig sein können.
(Man nennt diese in der Quantenmechanik auftretende Situation die Heisenberg-Relation.)
Hinweis: Zeigen Sie zunächst (mittels Induktion), dass ST n − T n S = nT n−1 für alle n ∈
N, n ≥ 1 gilt. Wenden Sie dann die Operatornorm auf diese Gleichung an und schlussfolgern
Sie, dass kSk oder kT k unendlich ist. (Es ist T 0 = idX .)
(b) Zeigen Sie: Ist X der Raum der C ∞ -Funktionen auf einem Intervall I ⊆ R (mit irgendeiner
Norm) und (Sf )(t) = f 0 (t), (T f )(t) = tf (t), so ist die Voraussetzung in Teilaufgabe (a)
erfüllt.
Anmerkung: In der Regel ist es delikat unbeschränkte Operatoren mit verschiedenen Definitionsbereichen zu verknüpfen.
Aufgabe 5: (1+1 Punkte)
Es sei H ein Hilbertraum und p ein orthogonaler Projektor von H auf U := p(H) ⊆ H.
Außerdem sei T ∈ L(H). Zeigen Sie:
(a) Es gilt T (U ) ⊆ U genau dann, wenn T ◦ p = p ◦ T ◦ p.
(b) Es gilt T (U ) ⊆ U und T (U ⊥ ) ⊆ U ⊥ genau dann, wenn T ◦ p = p ◦ T .
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