Topologie I 5. Übungsblatt Aufgabe 1 Aufgabe 2 Aufgabe 3

Universität Regensburg, Mathematik
WS 2010/11
Prof. Dr. Bernd Ammann
18.11.2010
Dr. Nicolas Ginoux, Dr. David Gepner
Topologie I
5. Übungsblatt
Aufgabe 1
Für einen wegzusammenhängenden topologischen Raum
X
bezeichne
1
die Menge der Homotopieklassen von stetigen Abbildungen S →
x0 ∈ X ein beliebiger Punkt und φ : π1 (X, x0 ) → [S 1 , X], [γ]x0 7→
natürliche Abbildung (der Basispunkt
(a) Zeigen Sie, dass
(b) Zeigen Sie, dass
in
π1 (X, x0 )
φ
x0
[S 1 , X]
X . Sei
[γ] die
wird vergessen).
surjektiv ist.
φ([γ]x0 ) = φ([γ 0 ]x0 ) genau dann gilt, wenn [γ]x0
und
[γ 0 ]x0
zueinander konjugiert sind.
(c) Leiten Sie daraus her, dass eine bijektive Abbildung zwischen
der Menge der Konjugationsklassen in
π1 (X)
[S 1 , X] und
existiert.
Aufgabe 2
1
3
Man betrachte eine Standardeinbettung von S in den R , z.B. (x1 , x2 ) 7→
1
(x1 , x2 , 0). Deren Bild wird ebenfalls mit S bezeichnet. Ziel die Aufgabe ist
3
1
es, die Fundamentalgruppe von R \ S zu berechnen.

(a)

0
2
2
Sei A := S2 (0) ∪ { 0  | t ∈ [−2, 2]}, wobei S2 (0) die
t
3
Abstandssphäre vom Radius 2 um 0 ∈ R ist. Zeigen Sie,
3
1
Deformationsretrakt von R \S ist.
euklidische
A
(Es werden keine expliziten Formeln
verlangt! Beschreiben Sie Ihr Verfahren Bilder sind dabei hilfreich.)
(b) Zeigen Sie, dass
A = S 2 ∪f D1
(c) Zeigen Sie, dass
A
ein CW-Komplex ist.
(d) Zeigen Sie, dass
A
homotopieäquivalent zu
(e) Berechnen Sie
für eine geeignete Abbildung
S2 ∨ S1
dass
f
ein
gilt.
ist.
π1 (R3 \ S 1 ).
Aufgabe 3
Z ∗ Z die freie Gruppe von Z mit Z. Wir notieren die 1 im ersten Faktor
mit a und die 1 im zweiten Faktor mit b. Sei G der Quotient von Z ∗ Z durch
2 2
5
den Normalteiler der von aba b und ba erzeugt wird.
Sei
(a) Zeigen Sie, dass
ba−2 b ≡ 1G ∈ G.
(b) Konstruieren Sie einen CW-Komplex
X , so dass für alle p ∈ X , π1 X ∼
= G.
(Hinweis: Mehrere Wahlen sind möglich, aber es gibt ein schönes Beispiel
mit einer 1-Zelle, zwei 1-Zellen, und zwei 2-Zellen.)
Aufgabe 4
S 2 erhalten, wenn wir e1 ∈ S 2
in 0-, 1- und 2-Zellen, so dass X die
Struktur eines CW-Komplexes hat. Berechnen Sie damit π1 (X).
Tipp: Es geht mit je einer 0-, 1- und 2-Zelle. Dann ist die Berechnung von
π1 ganz einfach.)
X der topologische Raum, den wir
2
mit −e1 ∈ S verkleben. Zerlegen Sie X
Sei
Abgabe der Lösungen:
aus
Donnerstag 25.11.2010
vor der Vorlesung.