“Lineare Algebra und Geometrie II”

Jun.-Prof. Dr. Nikita Semenov
30.04.2015
2. Übung zur Vorlesung
“Lineare Algebra und Geometrie II”
im Sommersemester 2015
1. Aufgabe: (8 Punkte) Sei

2 0

A := 1 4
0 3
−1 2 1 und v1 = −2 , v2 = −3 und v3 = 5 .
1

−3

−2
1
0
2
Berechnen Sie die darstellende Matrix von fa : R3 → R3 , v 7→ A · v bezüglich der Basis
(v1 , v2 , v3 ).
2. Aufgabe: (8 Punkte) Sei


 
 
1
2
−1
 
 
 
v1 = −2 , v2 = −3 , v3 =  5 
1
2
0
eine Basis von R3 . f1 , f2 , f3 : R3 → R seien R-lineare Abbildungen mit fi (vj ) = δij für
alle i, j. Dabei ist δij das Kroneckersymbol.
x1 Berechnen Sie fi (x) für alle i = 1, 2, 3 und x = xx2 ∈ R3 .
3
3. Aufgabe: (8 Punkte) Sei

−6
4
−6
5

A := −1
3

−6

2 .
−4
a) Berechnen Sie das charakteristische Polynom und die Eigenwerte von A.
b) Ist diese Matrix diagonalisierbar?
4. Aufgabe: (8 Punkte) Sei K ein Körper und Ei,j := (δir · δjs )1≤r,s≤n ∈ Mn (K), wobei
δij das Kroneckersymbol ist.
a) Beweisen Sie formal:
Ei,j Ek,l = δjk Ei,l .
b) In einem Ring R sei für x, y, ∈ R der Kommutator von x und y definiert durch
[x, y] := xy − yx. Zeigen Sie

E
, falls i 6= l
i,l
[Ei,j , Ej,l ] =
Ei,i − Ej,j , falls i = l.
1
c) Zeigen Sie: für alle A = (aij ) ∈ Mn (K) gilt A =
P
1≤i,j≤n
aij Ei,j .
5. Aufgabe: (8 Punkte) Sei K ein Körper und t : Mn (K) → K eine K-lineare Abbildung.
Es gelte für alle A, B ∈ Mn (K), dass t(AB) = t(BA).
Zeigen Sie, dass ein r ∈ K existiert, sodass für alle A ∈ Mn (K) gilt
t(A) = r · T r(A),
wobei T r(A) die Spur der Matrix A ist wie auf Übungsblatt 1, Aufgabe 5.
Hinweis: Benutzen Sie Aufgabe 4.
2