¨Ubungsblatt 5

Sterne, WS 2013/14
W.-R. Hamann / C. Denker
Übungsblatt 5
(Ausgabe 05.12.2013, Abgabe 16.12.2013)
1. Aufgabe Von der Sternatmosphäre zum Sternaufbau (10 Punkte)
Wir betrachten einen Stern mit grauer Atmosphäre.
(a) (4 Punkte) Stellen Sie die Transportgleichung
µ
∂I
= κ [S − I]
∂r
(1)
nach I um und berechnen Sie dann den emergenten Fluss F. Zeigen Sie, dass
unter der Annahme, dass sich die Quellfunktion und der Gradient jeweils durch
die Planckfunktion bzw. deren Ableitung annähern lassen, folgender Ausdruck
entsteht:
16 σSB 3 dT
F=−
T
(2)
3 κ
dr
(b) (2 Punkte) Während man bei den Sternatmosphären mit der Opazität κ einen
Absorptionskoeffienten meint, wird in den Sternaufbaugleichungen die Opazität
dagegen oft als Massenschwächungskoeffizient κ definiert. Zwischen den beiden
gilt der Zusammenhang κ = κ · ρ.
Transformieren Sie F auf κ und ermitteln Sie einen Ausdruck für die Leuchtkraft
L(r). Zeigen Sie, dass damit für den Temperaturgradienten folgender Ausdruck
gilt:
dT
3
κρ
=−
L(r)
(3)
2
dr
64πr σSB T 3
(c) (4 Punkte) Zeigen sie, dass sich für die äußersten Schichten (r ≈ R∗ , L ≈
L∗ ) eines Sterns im hydrostatischen Gleichgewicht folgender Temperaturverlauf
einstellt:
r
3κ
P (r)
(4)
T (r) = Teff 4 1 +
4g
Hinweis: Der Druck am äußeren Rand des Sterns verschwindet: P (R∗ ) = 0
2. Aufgabe Inhomogene Dichteverteilung (15 Punkte)
Betrachten Sie einen Stern mit sphärisch-symmetrischem Aufbau, dessen radiale
Dichteverteilung durch folgende Funktion beschrieben wird:
r
ρ(r) = ρ0 1 −
(5)
R∗
(a) (3 Punkte) Finden Sie eine Formel für die vom Radius r ≤ R∗ eingeschlossene
Masse M (r).
(b) (3 Punkte) Berechnen Sie anschließend die zugehörige gravitative Beschleunigung g(r). Vergleichen Sie das Resultat mit dem Fall einer konstanten Dichte
ρ(r) = ρc . Wo ist g(r) jeweils maximal?
W.-R. Hamann / C. Denker
Sterne, WS 2013/14
(c) (3 Punkte) Nehmen Sie an, der Stern sei im hydrostatischen Gleichgewicht, und
berechnen Sie die Druckschichtung P (r).
(d) (3 Punkte) Berechnen Sie analog P (r) für den Fall der konstanten Dichte.
(e) (3 Punkte) Drücken sie den Druck im Zentrum Pc = P (r = 0) für beide Dichteverteilungen durch M∗ = M (R∗ ) und R∗ aus. In welchem Fall ist der Zentraldruck höher?
3. Aufgabe Zeitskalen (5 Punkte)
(a) (3 Punkte) Berechnen Sie die Kelvin-Helmholz-Zeitskala und die nukleare Zeitskala in Jahren für:
• die Sonne
• einen O-Stern mit 30 M , 10 R und 105 L
• einen WNh-Stern mit 150 M , 20 R und 106.5 L
(b) (2 Punkte) Massereiche Sterne verlieren über ihre starken Sternwinde Masse. Wieviel Masse verlieren der O und der WNh-Stern während ihres Wasserstoffbrennens, wenn sie eine Massenverlustrate von ṀO = 10−7 M /yr bzw.
ṀWNh = 10−4.5 M /yr besitzen?