9. Übungsblatt zu Physik II - Delta

9. Übungsblatt zu Physik II
SS 2015
Prof. Dr. Thomas Weis / Prof. Dr. Heinrich Päs
Abgabe im Physik Foyer
Abgabe bis Fr, 12.06.15, 10 Uhr
Ausgabe: Fr, 05.06.15
Aufgabe 1: Transformationsverhalten
5 Punkte
Gegeben sei eine Lorentz-Transformation
γ
 0

Λµ ν = 
−γβ
0


0 −γβ 0
1
0
0


0
γ
0
0
0
1
also ein Boost entlang der y-Achse, mit dem Lorentz-Faktor γ = p 1
1−β2
und β = vc . Ein System Σ gehe unter
der Transformation Λ über in ein System Σ0 :
x µ → x 0µ = f (Λµ ν , x µ ),
dabei sei x µ eine beliebige Koordinate der Raumzeit.
Berechnen Sie explizit die folgenden Größen im transformierten System Σ0 .
a) Den Ort x µ und den Impuls p µ
b) die skalare Größe s = p µ p µ
c) das Vektorpotential A µ
d) die Ableitung ∂µ = ∂x∂ µ
e) die Tensorgröße Πµν = p µ p ν
Aufgabe 2: Minkowski-Kraft
5 Punkte
Betrachten Sie die kovariante Gleichung
du µ
= qF µν u ν .
dτ
p
die Vierergeschwindigkeit mit dτ = 1 − v 2 /c 2 dt und m die Ruhemasse.
m
Hierbei ist u µ =
dx µ
dτ
a) Zeigen Sie, dass es sich um die Bewegungsgleichung einer Ladung q handelt. Nutzen Sie hierzu die
Kovarianz der Gleichung aus.
b) Zeigen Sie, dass im Limes kleiner Geschwindigkeiten v ¿ c, die Ihnen bekannte Lorentz-Kraft
¡
¢
~L = q E
~ +~
~
F
v ×B
gilt.
Aufgabe 3: Maxwell vs. Einstein
5 Punkte
Betrachten Sie einen unendlich langen, infinitesimal dünnen und nicht stromdurchflossenen Draht entland der z-Achse mit einer Linienladungsdichte λ in einem Intertialsystem Σ0 . Σ0 bewegt sich relativ zum
Laborsystem Σ mit einer konstanten Geschwindigkeit ~
v = βc~
ez .
a) Berechnen Sie mit Hilfe der Maxwell-Gleichungen das elektrische und das magnetische Feld im System
Σ0 , dem Ruhesystem des Drahtes.
b) Stellen Sie den Feldstärketensor F 0µν auf und berechnen Sie anschließend das magnetische und elek-
trische Feld im System Σ, indem Sie den Tensor Transformieren.

Allg. Feldstärketensor:
Boost in z-Richtung:
0
E
1

x
F µν = 
c E y
Ez

γ
 0

Λ(β)µ ν = 
 0
−γβ
−E x
0
cB z
−cB y
0
1
0
0
0
0
1
0
−E y
−cB z
0
cB x

−γβ
0 


0 
γ

−E z
cB y 


−cB x 
0
mit Λ−1 (β) = Λ(−β).
Aufgabe 4: Ebene elektromagnetische Wellen im Vakuum
5 Punkte
a) Zeigen Sie, dass aus den Maxwellgleichungen im Vakuum (ρ = 0, ~
j = 0)
~=
∆E
~
1 ∂2 E
c 2 ∂t 2
~=
∆B
~
1 ∂2 B
c 2 ∂t 2
~ (~
~ (~
für das elektrische und magnetische Feld E
r , t ) und B
r , t ) folgt. Hier ist c die Lichtgeschwindigkeit im
Vakuum.
b) Zeigen Sie weiterhin, dass für ebene Wellen
~ (~
~0 e i (~k·~r −ωt ) ,
E
r , t ) = Re E
~ (~
~0 e i (~k·~r −ωt )
B
r , t ) = Re B
~ ,~
~ und E
~ ⊥B
~ aus den Maxwellgleichungen folgt. Welche Beziehung folgt dardie Transversalität ~
k⊥E
k⊥B
~0 | und |B
~0 |?
aus zwischen |E
c) Berechnen sie die Energiedichte der elektromagnetischen Welle w = w el + w mg .
~ ×B
~ /µ0 ausgedrückt durch w und ~
d) Wie lautet der Poyntingvektor ~
S= E
k?
¡
¢