Thermodynamik und Statistik

Thermodynamik und Statistik
Wintersemester 2013/14
Institut für Theoretische Physik
Prof. Dr. M. Vojta
Dr. R. Schumann
9. Übung
Woche vom 16.12. bis 22.12. 2013
Aufgabe 26 (K) (Super-) Paramagnetismus
Wir betrachten die magnetischen Eigenschaften von Systemen aus wechselwirkungsfreien magnetischen Momenten. Dabei können große Momente µ ≫ µB (z.B. ferromagnetischer Partikel)
klassisch behandelt werden, während die Momente individueller Teilchen (z.B. die Momente von
Seltenderd-Atomen oder auch Kernspins) quantenmechanisch behandelt werden muessen.
(a) Klassischer Fall: Betrachten Sie N magnetische Dipole mit Dipolmomenten ~µi (i = 1, . . . , N ),
wobei der Betrag des Moments für allePDipole gleich sei: |~µi | = µ! Ihre Energie in einem
~ ist durch E = N Ei mit Ei = −~µi · B
~ gegeben. Berechnen Sie
äußeren Magnetfeld B
i=1
die Zustandssumme und daraus das mittlere magnetische Moment h~µi i! Drücken Sie das
Ergebnis durch die Langevinfunktion
L(x) = coth x −
1
x
~ der Susaus! Skizzieren Sie L(x)! Berechnen Sie den Hochtemperaturlimes (kB T ≫ µ|B|)
~
~
zeptibilität χ, welche die Magnetisierung M mit dem angelegten Magnetfeld B verknüpft:
~ = χB!
~ Zeigen Sie, daß in diesem Fall das Curiegesetz des Paramagnetismus χ = C/T
M
gilt, und bestimmen Sie die Curiekonstante C!
(b) Quantenmechanische Behandlung: Die N magnetischen Dipole sollen nun quantenmechanisch behandelt werden. Ihr magnetisches Moment sei durch
µ2 = g 2 µ2B J(J + 1)
gegeben (wobei g der Landefaktor ist, und µB das Bohrsche Magneton). J ist die Drehimpulsquantenzahl. Die Quantisierungsachse sei in Richtung des äußeren Magnetfeldes
(z-Achse) gewählt. Die möglichen Werte µz für gegebenes J sind dann
µz = gµB m
mit
m = −J, −J + 1, . . . , J − 1, J .
Berechnen Sie für diesen Fall die Zustandssumme und das mittlere magnetische Moment!
Das Ergebnis kann durch die Brillouinfunktion
1
1
1
1
BJ (x) = 1 +
coth
x
coth
1+
x −
2J
2J
2J
2J
ausgedrückt werden. Wann gilt hier das Curiegesetz? Bestimmen Sie für diesen Fall die
Curiekonstante C!
(c) Betrachten Sie nun den Grenzfall J → ∞ und gleichzeitig g → 0, so daß der Wert für g · J
konstant bleibt! Zeigen Sie, daß dann BJ (x) → L(x)! Was bedeutet das physikalisch?
(d) Betrachten Sie den Spezialfall J =
Moment!
1
2
und berechnen Sie dafür das mittlere magnetische
Aufgabe 27 (K) Mittlere Energie, Energieschwankung und Schwankungsquadrat
Betrachten Sie ein klassisches einatomiges ideales Gas aus N Teilchen!
(a) Was ergibt sich mit Hilfe des Gleichverteilungssatzes für die mittlere Energie Ē?
(b) Zeigen Sie, daß das Schwankungsquadrat der Energie (∆E)2 sich aus der Summe der
Schwankungsquadrate (∆ǫ)2 der Energien der einzelnen Atome ergibt: (∆E)2 = N (∆ǫ)2 !
(c) Verwenden Sie diese Resultate und bestimmen Sie das Schwankungsquadrat der Energie
(∆E)2 und die relative Energieschwankung ∆E/Ē!
(d) Welcher allgemeine Zusammenhang besteht zwischen (∆E)2 und Ē bzw. der Wärmekapazität CV ?
Aufgabe 28 (K) Chemisches Potential für zweidimensionales Fermigas:
Bestimmen Sie für ein zweidimensionales Fermigas (Teilchenzahl N , Fläche A) das chemische
Potential µ als Funktion der Temperatur T und der Fermienergie ǫF !
(Hinweis: µ(T ) ergibt sich aus der Forderung hN i = const. Das Integral
Substitution ex = t berechnet werden.)
Rb
a
dx (ex1+1) kann mit Hilfe der
Betrachten Sie die Grenzfälle kB T ≪ ǫF und kB T ≫ ǫF ! Für welche Temperatur wird µ = 0?
Skizzieren Sie µ(T )!
Wir wünschen ein frohes Weihnachtsfest und ein erfolgreiches Jahr 2014!
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