Prof. Dr. S. Dietrich Dr. M. Gross ()

Prof. Dr. S. Dietrich
Dr. M. Gross ([email protected])
M.Sc. N. Farahmand Bafi
M.Sc. M. Mussotter
Dr. C. Rohwer
Theoretische Physik III: Elektrodynamik
Sommersemester 2017
7. Übungsblatt (http://www.is.mpg.de/dietrich/lehre/TP3 17)
29. Mai 2017
19. Elektrische Multipolmomente
Berechnen Sie die Mono-, Di- und Quadrupolmomente der folgenden Ladungsverteilungen:
(a) vier Punktladungen Q bei den kartesischen Koordinaten (0, a, 0), (0, −a, 0), (0, 0, a)
und (0, 0, −a) und vier weitere Punktladungen −Q bei (−a, 0, 0), (−a/2, 0, 0), (a, 0, 0)
und (2a, 0, 0),
(b) homogen geladener Rotationsellipsoid mit Hauptachsen a und b.
20. Magnetische Multipolmomente
Betrachten Sie den Fall statischer elektromagnetischer Quellen, d.h. die Ladungsdichte ρ
und die Stromdichte j sind zeitunabhängig. Für das magnetische Feld gilt B(r) = rot A(r)
mit dem Vektorpotential
Z
j(r0 ) 3 0
1
d r.
(1)
A(r) =
c
|r − r0 |
R3
Die Stromdichte j(r0 ) sei in der Nähe des Ursprungs lokalisiert (|r0 | ≤ `).
(a) Leiten Sie, analog zum Vorgehen für das elektrostatische Potential φ(r), die Multipolentwicklung des Vektorpotentials in der Form A(r) = A1 (r) + A2 (r) + . . . her, wobei
|An (r)| = O(|r|−n ) für n ≥ 1 und |r| → ∞.
(b) Zeigen Sie, dass A1 (r) = 0 gilt, d.h. dass es keine magnetischen Monopole gibt.
(c) Zeigen Sie, dass sich das magnetische Dipolpotential schreiben lässt als
Z
m×r
1
mit m :=
r0 × j(r0 )d3 r0 .
A2 (r) =
|r|3
2c
(2)
R3
Der Vektor m heißt “magnetisches Dipolmoment”. Berechnen Sie das magnetische
Dipolfeld B2 (r) := rot A2 (r).
(d) Zeigen Sie, dass das magnetische Dipolmoment m unabhängig von der Wahl des Ursprungs ist.
(e) Berechnen Sie das magnetische Dipolmoment m für eine dünne, ebene, stromdurchflossene Leiterschleife.
Fortsetzung auf Seite 2
1
21. Vergleich von elektrischem und magnetischem Dipolfeld
In der
wurde
Vorlesung
gezeigt, dass das elektrische Dipolfeld gegeben ist durch E2 (r) =
1
grad p · grad |r|
mit dem elektrischen Dipolmoment p. Aus Aufgabe 20(c) folgt
1
die Darstellung des magnetischen Dipolfelds B2 (r) = − rot m × grad |r|
mit dem
magnetischen Dipolmoment m.
(a) Zeigen Sie, unter Verwendung der Hilfsformel aus Aufgabe 14 (Blatt 5),
3(p · r)r − |r|2 p 4π
δ(r)p,
−
|r|5
3
3(m · r)r − |r|2 m 8π
δ(r)m.
B2 (r) =
+
|r|5
3
E2 (r) =
(3)
(4)
(b) Skizzieren Sie die Feldlinien des elektrischen und des magnetischen Dipolfelds und
vergleichen Sie diese.
(c) Gemäß Gln. (3) und (4) besitzen E2 (r) und B2 (r) für r 6= 0 dieselbe Struktur. Andererseits sind E2 rotationsfrei und B2 divergenzfrei. Erklären Sie diesen scheinbaren
Widerspruch.
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