Blatt 06 30.05.2017 13.06.2017 16.06.2017

Übungen zu: Klassische Elektrodynamik
SoSe 2017
Dr. B. Lange, A. Rusov, H. Henkel, T. Mohrmann
Blatt 6
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Ausgabe: Di., 30.05.2017
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Abgabe: Di., 13.06.2017
Aufgabe 17: Vektorpotential
15 P
Ein dünnes Stück Draht in Form eines geschlossenen Quadrats der Seitenlänge a liegt in
der x − y Ebene mit Mittelpunkt im Ursprung. Es wird von einem Strom der Stärke I
gegen den Uhrzeigersinn durchflossen.
a) 1 P Wie lautet die zugehörige Stromdichte ~j(~r)?
b)
~ r) in der Coulomb-Eichung
Berechnen Sie aus ~j(~r) das Vektorpotential A(~
~
und das Magnetfeld B(~r) im ganzen Raum.
c)
Entwickeln Sie das Magnetfeld auf der z-Achse für |a/z| 1. Der führende
Term dieser Entwicklung ist von der Form Bz ≈ 2M/z 3 , wodurch das magnetische
Dipolmoment M definiert wird. Bestimmen Sie M .
d)
Eine weitere gleiche stromdurchflossene Drahtschleife liege parallel zur ersten
mit Mittelpunkt bei z = R. Wie groß muß R gewählt werden, damit die längs
der z-Achse um z = R/2 gebildete Taylorreihe des Magnetfeldes keinen linearen
und keinen quadratischen Term besitzt? (“Genähertes homogenes Feld nach Helmholtz”)
7 P
3 P
4 P
Hinweise:
• Erschrecken Sie bitte nicht über die etwas länglichen Ausdrücke in Teilaufgabe b).
• Sie werden folgendes Integral benötigen:
Zx2
x1
dx
√
= ln
2
b + x2
!
p
b2 + x22 + x2
p
b2 + x21 + x1
• Benutzen Sie die Abkürzungen
p
E±± = (x ± a/2)2 + (y ± a/2)2 + z 2 ,
um die Übersicht zu behalten. In c) werden sich die Ausdrücke auf der z-Achse
vereinfachen.
bitte wenden
Aufgabe 18: Eichtransformationen
5 P
Ein Vektorpotential einer unendlich langen Spule mit Radius a lautet
(
B(−y, 0, 0) ,
x2 + y 2 < a2 (innen)
~ r) =
A(~
B a2
B
2
2
2 (außen)
2 x2 +y 2 (−y, x, 0) − 2 (y, x, 0) , x + y > a
.
~ r) = ∇
~ × A(~
~ r). Geben Sie die Funktionen
Berechnen Sie die magnetische Feldstärke B(~
Λ1 (~r) und Λ2 (~r) für diejenigen Eichtransformationen
~i = A
~ + ∇Λ
~ i
A
~ 1 (~r) = B (−y, x, 0) bzw.
an, die das Vektorpotential im Innenraum auf die Form A
2
~ 2 (~r) = B(−y + x, 0, 0) bringen.
A
~ ·A
~ = 0 (innen und
Welche der Vektorpotentiale erfüllen die Coulomb-Eichbedingung ∇
außen)?
Aufgabe 19: Magnetisches Dipolfeld
7 P
Im Folgenden betrachten wir eine allgemeine Stromverteilung ~j(~r), die keine Beiträge
außerhalb einer Kugel mit Radius R hat. Das Dipolfeld ist dabei für r ≥ R durch
~ −m
~
~ r) = 3~er (~er · m)
B(~
3
r
gegeben, wobei das magnetische Dipolmoment
Z
1
m
~ =
d3 r0 ~r 0 × ~j(~r 0 )
2c
ist. Wir untersuchen nun das Dipolfeld mit Hilfe des Gauß’schen Satzes.
a)
4 P
Zeigen Sie
Z
~ r) = 8π m
d3 r B(~
~ ,
3
r<R
R 3
~ =∇
~ ×A
~ schreiben, den Gauß’schen Satz in der Form
~
~
indem Sie B
V d r∇×A =
H
2a × A
~ verwenden (vgl. Aufg. 2 d) von Blatt 1), und A
~ durch ~j ausdrücken.
∂V d ~
0
Hinweis: Entwickeln Sie 1/|~r − ~r | in Kugelflächenfunktionen.
b)
Nehmen Sie im Folgenden an, daß das Dipolfeld durch einen Punktdipol
erzeugt wird, d.h. die obige Formel für das Dipolfeld gilt für r > 0. Folgern Sie
~ r) geben muß. Geben Sie diesen
aus a), daß es einen zusätzlichen Beitrag zu B(~
Beitrag an, und vergleichen Sie mit der Behauptung aus der Vorlesung.
3 P