Blatt 11 - LS1 - Logik in der Informatik

Übungen zur Vorlesung
Logik und Komplexität (LuK)
Prof. Dr. Thomas Schwentick
WS 08/09
Übungsblatt 11
19.1.2009
Abgabe spätestens am 26.1.2009 um 16:00 Uhr, durch Einwurf in den Briefkasten
links vor Raum 214 (OH16 zweiter Stock) oder zu Beginn der Vorlesung.
Die Abgabe ist in Gruppen von bis zu zwei Studierenden möglich. Bezüglich der
Form der Abgabe beachten Sie bitte die Hinweise auf Übungsblatt 1.
Quizfragen:
Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche sind falsch? Warum?
(a) Die Presburger-Arithmetik ist entscheidbar, hat aber nicht-elementare Komplexität.
(b) Sternfreie reguläre Ausdrücke können nur lokale Eigenschaften von Strings ausdrücken.
(c) Safety-Eigenschaften sind im Grunde Invarianten.
(d) Jedes Element einer ω-regulären Sprachen lässt sich in der Form uv ω schreiben.
Aufgabe 11.1. [Presburger-Arithmetik]
(5 Punkte)
(a) Zeigen Sie Lemma 11.9 der Vorlesung: Zu jeder Presburger-Formel gibt es eine äquivalente Formel, die
nur atomare Formeln der Form x + y = z und x = y verwendet.
(b) Zeigen Sie: hN, +, 0, Pot2 i ist entscheidbar. Dabei sei Pot2 = {2n | n ∈ N}
Aufgabe 11.2. [Sternfreie reguläre Ausdrücke]
(6 Punkte)
Geben Sie für die folgenden Sprachen über {a, b, c} sternfreie reguläre Ausdrücke an und zeigen Sie jeweils,
dass sie aperiodisch sind.
(a) Die Menge aller Strings, die alle Symbole aus {a, b, c} enthalten und in denen alle a’s vor allen c’
vorkommen.
(b) L(b(aa∗ bb)∗ ).
Aufgabe 11.3. [Liveness und Safety]
(6 Punkte)
Welche der folgenden Aussagen sind wahr? Geben Sie entweder eine formale Begründung oder ein Gegenbeispiel an.
(a) Sind L1 und L2 Safety-Eigenschaften, so auch L1 ∪ L2 .
(b) Sind L1 und L2 Safety-Eigenschaften, so auch L1 ∩ L2 .
(c) Ist L eine Safety-Eigenschaft, so auch P(P )ω − L.
(d) Ist L eine Safety-Eigenschaft, so ist P(P )ω − L keine Safety-Eigenschaft.
(e) Sind L1 und L2 Liveness-Eigenschaften, so auch L1 ∪ L2 .
(f) Sind L1 und L2 Liveness-Eigenschaften, so auch L1 ∩ L2 .
(g) Ist L eine Liveness-Eigenschaft, so auch P(P )ω − L.
(h) Ist L eine Liveness-Eigenschaft, so ist P(P )ω − L keine Liveness-Eigenschaft.
Erreichbare Punktzahl: 17
Mindestpunktzahl: 7