Gleichungen und Ungleichungen, Formeln umstellen

Mathematik I für BT\MT
WS 2017/18
Autor: [email protected]
2. Übungsserie: Zahlenarten
Hinweis: Mit * markierte (Teil-)Aufgaben sind obligatorisch.
Aufgabe 1:
Bestimmen Sie mindestens eine Menge X für die {2, 4} ⊆ X ⊆ {1, 2, 3, 4, 5, 6} gilt.
Aufgabe 2*:
Gegeben sind die Mengen A, B, C ⊆ R mit
A := [−3 ; 2] ,
B := [−1 ; 3) ,
C := (−4 ; 1) .
Bestimmen Sie A \ (B ∩ C) und veranschaulichen Sie diese Menge auf der Zahlengerade.
Aufgabe 3*:
Berechnen und vereinfachen Sie so weit wie möglich
8
4
5
5 3
4
+
b)
−
c)
:
d)
a)
7 35
15 3
12 4
Begründen Sie die Forderung an a, b ∈ R in Teilaufgabe d)!
1
1
+
(mit |a| =
6 |b|) .
a+b a−b
Aufgabe 4:
Lösen Sie durch Fallunterscheidung die Betragsstriche in den folgenden Ausdrücken auf:
a) |a − 3| mit a ∈ R
b*) |4 + b| mit b ∈ R .
Aufgabe 5:
Lösen Sie die Betragsstriche auf und fassen Sie so weit wie möglich zusammen:
2 |a − b| − |b + 3a| − |b| − 5a
mit b ≤ a ≤ 0 .
Aufgabe 6:
Berechnen Sie für beliebige reelle Zahlen a und b die folgenden Potenzen und vereinfachen
Sie so weit wie möglich:
−3
2
a) (a−b)2
b*) (a+1−b)2
c) (a2 −2b)3
d*) (−2a3 ) + (−2a)−2
Aufgabe 7:
Beseitigen Sie in den folgenden Ausdrücken das Wurzelzeichen und geben sie Bedingungen
für die reellen Zahlen a und b an, so dass diese Ausdrücke Gültigkeit besitzen:
q
q
q
√
2
10
2
4
a)
(a − 1)
b*)
(2a + 3)
c*)
ab
d) 3 (a + b)9
s
3 4
2b3
b
e*)
: √
a
2a
1 von 2
Aufgabe 8:
Bestimmen Sie x unter Verwendung der Definition des Logarithmus, und das ohne Taschenrechner:
√
1
2
c*) log5 6 25 = x
d) (ln (e3 )) = x
a) log7 49 = x
b*) log 1 = x
2 4
q
√
1
1
f*) logx 10 = 0, 5
e) logx = −1
g) logx 256 = 8
h*) lg 10
=x
5
1
i*) lg x = 2
j) 3x = 81
k*) ln x =
2
Aufgabe 9:
Vereinfachen Sie die folgenden Ausdrücke so weit wie möglich, so dass nur der Logarithmus
eines Arguments dasteht!
1
1
1
a*)
ln 16 + ln 8
b*) −3 lg a − lg b
2
3
3
√
1
1
c) lg a2 − b2 − lg (a − b) − lg (a + b) .
3
3
Wie müssen die reellen Zahlen a und b in den Teilaufgaben b) und c) beschaffen sein, damit
diese Ausdrücke gültig sind.
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