Blatt 6 - LS1 - Logik in der Informatik

Übungen zur Vorlesung
Logik und Komplexität (LuK)
Prof. Dr. Thomas Schwentick
SoSe 11
Übungsblatt 6
4.7.2011
Abgabe spätestens am 12.7.2011 um 14:15 Uhr, durch Einwurf in den Briefkasten
links vor Raum 214 (OH16 zweiter Stock) oder zu Beginn der Vorlesung.
Die Abgabe ist in Gruppen von bis zu zwei Studierenden möglich. Bezüglich der
Form der Abgabe beachten Sie bitte die Hinweise auf Übungsblatt 1.
Quizfragen:
Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche sind falsch? Warum?
(a) Das Problem, zu testen, ob L(α) 6= ∅ ist, für einen gegebenen sternfreien regulären Ausdruck α, ist
entscheidbar, aber nicht elementar.
(b) Die Presburger-Arithmetik ist entscheidbar, hat aber nicht-elementare Komplexität.
(c) Sternfreie reguläre Ausdrücke können nur lokale Eigenschaften von Strings ausdrücken.
(d) Die Kombikomplexität für MC(()L) ist für jede Logik L mindestens so schwierig wie die Datenkomplexität.
Aufgabe 6.1. [FO und AC0 ]
Sei ϕ die Formel
(∀y E(x, y) ∨ E(y, x)) ∨ (∃y ¬E(x, y) ∧ ¬E(y, x)).
(3 Punkte)
Geben Sie einen möglichst flachen Schaltkreis an, der für (Kodierungen von) Graphen mit 3 Knoten, entscheidet, ob ϕ gilt.
Aufgabe 6.2. [MSO-Formeln und Automaten]
(6 Punkte)
Konstruieren Sie nach dem Verfahren der Vorlesung (!) äquivalente Automaten zu den folgenden Formeln.
(a) ∀x∀y [x < y → ¬(Qb (x) ∧ Qa (y))]
(b) ∃X∀x∀y ([S(x, y) → (X(x) ↔ ¬X(y))] ∧ X(min) ∧ ¬X(max)
In (b) können Sie zunächst Automaten für die Formeln S(x, y), X(min) und X(max) direkt konstruieren
und dann verwenden.
Aufgabe 6.3. [Presburger-Arithmetik]
(5 Punkte)
(a) Zeigen Sie Lemma 11.6 der Vorlesung: Zu jeder Presburger-Formel gibt es eine äquivalente Formel, die
nur atomare Formeln der Form x + y = z und x = y verwendet.
(b) Zeigen Sie: hN, +, 0, Pot2 i ist entscheidbar. Dabei sei Pot2 = {2n | n ∈ N}
Aufgabe 6.4. [Sternfreie reguläre Ausdrücke]
(6 Punkte)
Geben Sie für die folgenden Sprachen über {a, b, c} sternfreie reguläre Ausdrücke an und zeigen Sie jeweils,
dass sie aperiodisch sind.
(a) Die Menge aller Strings, die alle Symbole aus {a, b, c} enthalten und in denen alle a’s vor allen c’s
vorkommen.
(b) L(b(aa∗ bb)∗ ).
Erreichbare Punktzahl: 20
Mindestpunktzahl: 6