¨Ubungen zur Vorlesung Grundbegriffe der Theoretischen Informatik
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Übungen zur Vorlesung Grundbegriffe der Theoretischen Informatik Thomas Schwentick Gaetano Geck, Moritz Martens, Martin Schuster SoSe 2014 Übungsblatt 13 1.7.2014 Abgabe bis zum 8.7.2014 • (vor der Vorlesung) im HG II, HS 3, oder • im Briefkasten von Lehrstuhl 1, OH-16, gegenüber von Raum E22, oder • im Briefkasten 38 am Audimax Dieses Aufgabenblatt dient zur Vertiefung des Stoffes zur NPVollständigkeit, insbesondere im Hinblick auf die Klausur. Es werden zwar keine Punkte mehr vergeben und das Blatt zählt demzufolge nicht für die Studienleistung. Sie können (und sollten) Ihre Lösungen aber abgeben, und diese werden dann korrigiert. Als Klausurvorbereitung können (und sollten) Sie auf diesem Blatt auch zu den Quizfragen eine schriftliche Bearbeitung abgeben. Antworten Sie dabei jeweils mit wahr“ oder falsch“ und begründen Sie ” ” Ihre Antwort in ein bis zwei Sätzen. Achten Sie auf saubere, präzise Argumentation. Ansonsten gelten die Hinweise von Blatt 1 und Blatt 2. Quizfragen: Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche sind falsch? Und warum? keine Punkte 1. Zu überprüfen, ob eine aussagenlogische Formel keine Tautologie ist, ist NP-vollständig. 2. NP ist nicht unter Schnitt abgeschlossen. 3. Wenn P “ NP ist, dann lässt sich das Rucksackproblem polynomiell auf das Erreichbarkeitsproblem in Graphen reduzieren. Übungsblatt 13 Übungen zur GTI Seite 2 Aufgabe 13.1 [Polynomielle Reduktionen] Wir betrachten in dieser Aufgabe die folgenden algorithmischen Probleme Problem: Gegeben: Frage: Partition Zahlen a1 , . . . , an P N ř ř Gibt es eine Indexmenge S Ď t1, . . . , nu mit iPS ai “ jRS aj ? Problem: Gegeben: Frage: SubsetSum Zahlen a1 , . . . , an P N, Zahl k P N ř Gibt es eine Indexmenge S Ď t1, . . . , nu mit iPS ai “ k? sowie das von Blatt 12 bekannte Problem BinPacking: Problem: Gegeben: Frage: BinPacking Gewichte w1 , . . . , wn P r0, 1s Ď Q zu Gegenständen 1, . . . , n; eine Zahl k P N0 . Können alle Gegenstände so auf k Behälter verteilt werden, dass sich für jeden Behälter ein Gewicht von höchstens 1 ergibt? a) Zeigen Sie: Partition ďp BinPacking. b) Zeigen Sie: SubsetSum ďp Partition. Hinweis: řFügen Sie der Eingabe zwei Zahlen an`1 “ 2A ´ k und an`2 “ A ` k hinzu, wobei A “ ni“1 ai die Summe der Eingabezahlen ist. Was ist die Summe der so modifizierten Eingabezahlen, und was folgt damit für die daraus gewonnenen Lösungen? Kann es eine Lösung geben, die sowohl an`1 als auch an`2 enthält? c) Zeigen Sie: Ist SubsetSum NP-schwierig, so sind die Probleme SubsetSum, Partition und BinPacking NP-vollständig. Übungsblatt 13 Übungen zur GTI Seite 3 Aufgabe 13.2 [NP-Vollständigkeit] Ein Wort u “ u1 . . . uk P Σ˚ ist eine Teilsequenz eines Wortes w P Σ˚ , wenn es Wörter v0 , . . . , vk P Σ˚ gibt, so dass w “ v0 u1 v1 . . . vk´1 uk vk gilt, d.h. wenn u aus w durch Entfernen von Teilwörtern erzeugt werden kann. Wir betrachten das algorithmische Problem, für n gegebene Wörter eine gemeinsame Teilsequenz mit gegebener Länge k zu finden: Problem: Gegeben: Frage: CommonSubsequence Menge M von Wörtern über einem Alphabet Σ, Zahl k. Gibt es ein u P Σ˚ mit |u| ě k, das Teilsequenz von jedem w P M ist? a) Zeigen Sie: CommonSubsequence P NP b) In dieser Teilaufgabe beschäftigen wir uns mit einer Reduktion auf CommonSubsequence. Wir definieren zunächst eine Funktion c, die einen ungerichteten Graphen G “ pV, Eq mit Knotenmenge V “ tv1 , . . . , vn u folgendermaßen auf eine Menge von n2 ´ |E| ` 1 Strings über dem Alphabet V abbildet: cpGq “ tv1 . . . vi´1 vi`1 . . . vn v1 . . . vj´1 vj`1 . . . vn | pvi , vj q R E, i ă ju Y tv1 . . . vn u Anschaulich besteht also cpGq aus • einem String, v1 . . . vn in dem alle Knoten von G in geordneter Reihenfolge vorkommen und • einem String für jede in G fehlende“ Kante e, der aus aus zwei Hälften besteht, wobei ” jede Hälfte in geordneter Reihenfolge alle Knoten von G bis auf jeweils einen Endpunkt von e enthält. Die Funktion f bildet einen Graphen G “ pV, Eq und eine Zahl k gemäß f ppG, kqq “ pcpGq, kq ab. (i) Berechnen Sie cpGq und f pG, 3q für den folgenden Graphen G “ ptv1 , v2 , v3 , v4 u, Eq. Gilt f pG, 3q P CommonSubsequence? v2 v4 v1 v3 (ii) Zeigen Sie: f ist eine polynomielle Reduktion von Clique auf CommonSubsequence c) Folgt aus den vorigen Aufgabenteilen die NP-Vollständigkeit von CommonSubsequence? Wenn ja, warum? Wenn nein, was fehlt? Übungsblatt 13 Übungen zur GTI Seite 4 Aufgabe 13.3 [Satz von Cook] Im Beweis des Satzes von Cook (Satz 22.5) wird gezeigt, wie jede beliebige Sprache L P NP auf SAT reduziert werden kann. Dabei wird für eine Turing-Maschine M , die L mit Zeitschranke nk nichtdeterministisch entscheidet, und eine beliebige Eingabe w “ w1 . . . wn eine Formel ϕ in KNF konstruiert, so dass gilt: M akzeptiert w nichtdeterministisch ðñ ϕ ist erfüllbar. a) Wie in der Vorlesung (Kapitel 22, Folie 15ff) betrachten wir die Berechnung der gegebenen Turing-Maschine, die die Menge aller Strings über ta, bu, entscheidet, die keine Palindrome sind. Das Eingabewort sei wieder w “ aaba mit Zusatzeingabe y “ 01. Wir betrachten die aus dieser Turing-Maschine, dem Wort w und der Zusatzeingabe y konstruierte Formel ϕ. Berechnen Sie die Werte der folgenden Variablen in der einzigen Wahrheitsbelegung, die die Formel ϕ wahr macht: Z13,q4 , Z14,q4 , P11,2 , P11,1 , P14,4 , B13,0, , B9,6,0 , B23,1,$ b) Geben Sie repräsentative Beispiele von Teilen der Teilformel von ϕD an, die sich auf den Übergang vom Zeitpunkt t “ 8 zum Zeitpunkt t “ 9 und die Position 6 des TuringMaschinenkopfs zum Zeitpunkt t “ 8 beziehen. Sie müssen nicht die gesamte Teilformel angeben; wählen Sie allerdings möglichst aussagekräftige Ausschnitte davon, anhand derer sich die Funktionsweise von ϕD gut erkennen lässt. Erläutern Sie diese Funktionsweise anschließend mit Hilfe Ihrer Beispiele. Zusatzaufgabe [Reguläre Ausdrücke mit Verschränkung] Wie auf Blatt 4 ist die Verschränkung zweier Sprachen L1 , L2 Ď Σ˚ definiert als L1 }L2 “ tu1 v1 u2 v2 . . . un vn | ui , vi P Σ˚ für alle 1 ď i ď n, und u1 u2 . . . un P L1 , v1 v2 . . . vn P L2 u. Reguläre Ausdrücke mit Verschränkung (kurz: REVs) sind definiert wie reguläre Ausdrücke (Regeln 1-3 auf Folie 2.12), mit folgender zusätzlicher Regel: 4) Sind α und β reguläre Ausdrücke mit Verschränkung, so auch pα}βq. Die Semantik regulärer Ausdrücke mit Verschränkung entspricht jener von regulären Ausdrücken, mit folgender Ergänzung: Sind α und β REVs, so gilt Lppα}βqq “ Lpαq}Lpβq Zeigen Sie, dass das folgende Problem in NP liegt: Problem: Gegeben: Frage: REV-Wortproblem REV α über einem Alphabet Σ, Wort w P Σ˚ Gilt w P Lpαq?
