1. ¨Ubungsblatt, Stochastische Dynamische

Prof. Dr. Lars Grüne
Mathematisches Institut
Universität Bayreuth
Sommersemester 2007
1. Übungsblatt, Stochastische Dynamische Optimierung
Abgabe: 24.4.2007 in der Vorlesung oder an [email protected]
Aufgabe 1: Gegeben sei eine gleichverteilte zweidimensionale Zufallsvariable X = (X1 , X2 )T :
Ω → [0, 1]2 , d.h. für jede Teilmenge B ⊆ [0, 1]2 gelte
PX (B) = F l(B),
wobei F l(B) den Flächeninhalt der (zweidimensionalen) Menge B bezeichnet.
(i) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit P (X2 ≥ X1 ).
(ii) Berechnen Sie für ε > 0 die bedingte Wahrscheinlichkeit P (X2 ≥ X1 | X1 ≤ ε).
Warum “versagt” die in der Vorlesung angegebene Formel für die bedingte Wahrscheinlichkeit für ε = 0? Was wäre ein sinnvoller Wert für die bedingte Wahrscheinlichkeit für ε = 0 (mit Begründung!)?
Hinweis: Formulieren Sie die Ausdrücke für die Wahrscheinlichkeiten jeweils so um, dass
sie sich durch Flächeninhalte geeigneter Teilmengen von [0, 1]2 ausdrücken lassen. Diese Flächeninhalte dürfen dann geometrisch berechnet werden. In (ii) kann die Gleichung
X −1 (B1 ) ∩ X −1 (B2 ) = X −1 (B1 ∩ B2 ) hilfreich sein (die Sie bei Verwendung aber beweisen
müssen).
Aufgabe 2: Für relle Zahlen αu > αd > 0 und p ∈ (0, 1) sei eine Zufallsvariable X : Ω →
{αu , αd } gegeben mit
PX ({αu }) = p und PX ({αd }) = 1 − p
(i) Berechnen Sie Erwartungswert und Varianz von X zunächst allgemein und vereinfachen Sie die entstehenden Ausdrücke dann für den Spezialfall p = 1/2 so weit wie
möglich.
(ii) Schreiben Sie ein Computerprogramm, das N Zufallszahlen x1 , . . . , xN erzeugt, deren
Verteilung mit der Zufallsvariablen X übereinstimmt und die empirischen Werte
N
N
X
1 X
e= 1
e 2
E
xn und Vg
ar =
(xi − E)
N
N −1
n=1
n=1
berechnet. Vergleichen Sie für αu = 1.1, αd = 0.95, p = 1/2 sowie N = 1000, 5000,
10000, 50000, 100000 die experimentellen Werte mit den analytischen Werten aus (i).
Vorlesungs–Homepage:
www.math.uni-bayreuth.de/∼lgruene/stochdynopt07/