Übungsbeispiele

Statistik 1 UE
WS 2016
Martin Glanzer
07.11.2016
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In der letzten Einheit lag der Fokus auf der bedingten Wahrscheinlichkeit. Man sollte
den Begriff verstehen und auf ein sprachlich beschriebenes Problem anwenden können.
Es gilt insbesondere den Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit und die Formel von
Bayes als Werkzeug zu beherrschen.
1 Diskrete Zufallsvariablen
Beispiel 1.1. Gegeben sei eine diskrete Zufallsvariable X auf den vier Punkten x1 =
1, x2 = 3, x3 = 4, und x4 = 6. Darüber hinaus seien die Wahrscheinlichkeiten P[X =
x1 ] = 0.2, P[X = x2 ] = 0.4 sowie P[X = x3 ] = 0.25 gegeben.
1. Wie groß ist P[X = x4 ]?
2. Skizzieren Sie die Verteilungsfunktion (cumulative distribution function, cdf).
3. Berechnen Sie Erwartungswert und Varianz von X und X 2 .
Beispiel 1.2. Gegeben sei eine Zufallsvariable X mit der Verteilung P[X = −2] =
0.2, P[X = 0] = 0.5, P[X = 3] = 0.3.
1. Geben Sie die Verteilungsfunktion F (x) der ZV X an und skizzieren Sie diese.
2. Berechnen Sie die Standardabweichung von X.
3. Berechnen Sie den Erwartungswert der Zufallsvariablen Y = X 3 .
4. Berechnen Sie die Varianz der Zufallsvariablen Z = −3X − 1.
Beispiel 1.3. Sie haben 4 Banknoten in Ihrem Geldbeutel: zwei 5 e Banknoten, eine 10
e Banknote, und eine 20 e Banknote. Ein Dieb greift in Ihren Geldbeutel und entwendet
genau zwei Scheine. Wir nehmen an, die Wahrscheinlichkeit gestohlen zu werden hängt
nicht vom Wert der Banknote ab. Der gestohlene Betrag sei durch die Zufallsvariable X
ausgedrückt.
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1. Geben Sie die Verteilungsfunktion von X an und skizzieren Sie diese.
2. Als der Dieb zu seinem Auto zurückkehrt, verlangt ein Polizist 10 e von ihm, da
er im Parkverbot geparkt hat. Zuhause angekommen, muss er den mit nachhause
gebrachten Betrag zu gleichen Teilen mit seiner Frau teilen. Anschließend trifft er
sich mit Freunden in einer Bar. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass er sich
mit jenem Teil Y , der ihm letztendlich übrig bleibt von diesem Diebstahl, ein Bier
zum Preis von 4.10 e leisten kann.
3. Berechnen Sie Erwartungswert und Varianz von Y .
Beispiel 1.4. Wir betrachten das Spiel Chuck a luck, welches wie folgt funktioniert: Ein
Spieler wählt eine Zahl zwischen 1 und 6 und wirft dann drei Würfel. Zeigen alle drei
Würfel die angesagte Zahl, erhält er drei Pfund; zeigen genau zwei Würfel diese Zahl,
erhält er zwei Pfund; und zeigt ein Würfel seine Zahl, erhält er ein Pfund. Wenn kein
Würfel seine Zahl anzeigt, muss der Spieler ein Pfund zahlen.
1. Berechnen Sie den erwarteten Gewinn des Spielers.
2. Wieviel müsste der Spieler im Fall, dass alle drei Würfel die angesagte Zahl zeigen,
erhalten, sodass es ein faires Spiel wäre? Die Annahmen für die anderen Ausgänge
bleiben unberührt.
Beispiel 1.5. Ein Kontrollor weiß, dass jeder 10. Fahrgast ohne Fahrschein unterwegs
ist. Er kontrolliert 20 Fahrgäste. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er
1. keinen Schwarzfahrer,
2. genau einen Schwarzfahrer,
3. mindestens zwei Schwarzfahrer erwischt?
Beispiel 1.6. Bei einem Automaten gewinnt man in 40% aller Spiele. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit, dass man bei 10 Spielen
1. genau 2 Mal,
2. maximal 2 Mal,
3. maximal 9 Mal gewinnt?
Beispiel 1.7. Wir betrachten eine Gruppe von 100 Personen. Wir nehmen an, dass
die Wahrscheinlichkeit an einem bestimmten Wochentag geboren zu sein für jeden Tag
gleich groß ist. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass
1. genau 14 Personen an einem Dienstag geboren wurden?
2. keine Person an einem Donnerstag geboren wurde?
3. genau 30 Personen an einem Wochenende geboren wurden?
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