Serie 7

MAE4 – Mathematik: Analysis für Ingenieure 4
Dr. Christoph Kirsch
Frühlingssemester 2015
ZHAW Winterthur
Serie 7
Aufgabe 1 :
Berechnen Sie den Erwartungswert, die Varianz und die Standardabweichung der
diskreten reellen Zufallsvariablen X mit den Wahrscheinlichkeitsfunktionen
a)
xi
−2 2 4 6
fX (xi ) 14 16 14 14
b)
xi
−2 1 2
fX (xi ) 18 14 12
c)
xi
−2 −1
0
1
2
3
4
fX (xi ) 0.05 0.20 0.25 0.20 0.15 0.10 0.05
8
1
12
3
4
1
16
1
16
Aufgabe 2 :
Aus einer Urne mit 5 roten und 10 blauen Kugeln werden nacheinander 100 Kugeln
gezogen (mit Zurücklegen). Wir definieren die Zufallsvariable
X := “Anzahl der gezogenen roten Kugeln”.
a) Geben Sie die Verteilung von X an.
b) Berechnen Sie mit Hilfe der Quantilfunktion von X die Zahl
q2 := inf ({x ∈ R | “P (X ≤ x)” ≥ 97.5 %}).
c) Berechnen Sie mit Hilfe der Quantilfunktion von X die Zahl
q1 := inf ({x ∈ R | “P (X > x)” ≤ 97.5 %}).
d) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit “P (q1 < X ≤ q2 )”.
Aufgabe 3 :
Beim Brettspiel “Monopoly” gibt es zwei Versorgungswerke (Wasserwerk und Elektrizitätswerk). Wir nehmen an, ein Spieler besitze beide Werke. Wenn ein anderer
Spieler auf einem der beiden Felder landet, so muss er dem Besitzer einen Mietbetrag
zahlen. Zur Festlegung dieses Betrags muss mit beiden Würfeln gewürfelt werden –
der zu bezahlende Mietbetrag ist gleich 200-mal die Augensumme der beiden Würfel.
a) Geben Sie die Wahrscheinlichkeitsfunktion fX des (zufälligen) Mietbetrags X
an.
b) Wie gross ist der erwartete Mietbetrag, µX = E[X]?
p
c) Wie gross ist die Standardabweichung, σX = V [X]?
d) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit “P (|X − µX | ≤ σX )” (d. h. die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Wert von X um höchstens σX vom Erwartungswert
µX abweicht).
1
Aufgabe 4 :
Berechnen Sie sämtliche in der Vorlesung behandelten Lage- und Streuungsmasse (Median, Erwartungswert, Modus, Quartilsabstand, Varianz und Standardabweichung)
der stetigen reellen Zufallsvariablen X mit Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion
12x2 (1 − x), x ∈ [0, 1]
fX (x) =
.
0,
sonst
Vorlesungswebseite: http://home.zhaw.ch/~kirs/MAE4
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