¨Ubungsblatt 11

Abteilung Empirische
Wirtschaftsforschung
Statistik I WS 07/08
Prof. Fitzenberger, Ph.D.
Übungsblatt 11
Die mit z) gekennzeichneten Aufgabenteile sind in Gruppenarbeit zu lösen und im Rahmen des Hausaufgabenwettbewerbs am Lehrstuhl abzugeben. Die Lösungen für diese Aufgabenteile werden nach dem
Abgabetermin ins Netz gestellt.
Aufgabe 1:
Die Massenfunktion einer zweidimensionalen Zufallsvariablen (X,Y) ist in folgender Tabelle dargestellt.
X
10
20
30
2
1/9
1/6
1/18
Y
3
1/9
0
2/9
4
1/9
1/6
1/18
In der Kopfzeile stehen die möglichen Ausprägungen von Y, in der Kopfspalte diejenigen von X, im
Inneren der Tabelle die Wahrscheinlichkeitsmassen.
a) Berechnen Sie die beiden Randverteilungen.
b) Berechnen Sie die Verteilung für X unter der Bedingung, das Y = 4 ist.
c) Berechnen Sie V(X) und V(Y).
d) Berechnen Sie die Kovarianz und den Korelationskoeffizienten.
e) Sind X und Y stochastisch unabhängig?
f) Wie verändern sich die Kovarianz und der Korrelationskoeffizient, wenn X und Y wie folgt linear
transformiert werden:
X 0 = 2 + 3X und Y 0 = 1 − Y ?
(Schira Aufg. 10.1 + 10.2)
Aufgabe 2:
Beim Würfelpoker wird die Augensumme dreier Würfel gewertet, wobei abweichend vom normalen Würfel
1 = 100 und 6 = 60 zählt. Berechnen Sie den Erwartungswert und die Standardabweichung der Zufallsvariablen Z = X1 + X2 + X3 beim Würfelpoker.
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Statistik I WS 07/08
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Aufgabe 3:
Stichprobe. Das Merkmal X einer großen Grundgesamtheit habe die folgende Häufigkeitsfunktion:
h(x) =
1/5
0
für x = 1, 2, 3, 4, 5
sonstige
Aus dieser Grundgesamtheit wird eine Stichprobe vom Umfang n = 2 gezogen.
a) Geben Sie zahlenmäßig Mittelwert und Varianz der Grundgesamtheit an.
b) Geben Sie Erwartungswert und Varianz der beiden Stichprobenelemente, also E(X1 ), E(X2 ), V(X1 )
und V(X2 ) an.
c) Geben Sie die Verteilung des Stichprobenmittelwertes X vollständig an.
d) Berechnen Sie E(X) und V (X), und zwar unter Verwendung der Verteilung von X.
e) Berechnen Sie dieselben nun ohne Verwendung dieser Verteilung.
(Schira Aufg. 10.7)
Aufgabe Z1:
Gegeben sei die folgende Wahrscheinlichkeitsverteilung einer zweidimensionalen Zufallsvariablen (X,Y):
x1
x2
x3
x4
y1
0.01
y2
0.05
y3
0.17
0.12
0.40
0.25
Berechnen Sie
a) fX (x3 ) und fY (y2 )
b) f2 (y3 |x2 ), f1 (x3 |y3 ) und f2 (y1 |x4 ).
(Schira Aufg. 10.4)
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Aufgabe Z2:
Vier Zufallsvariablen haben die Varianzen V(X1 ) = V(X3 ) = 16, V(X4 ) = 25 und V(X2 ) = 9. Alle
Kovarianzen seien Null. Man bilde daraus eine neue Zufallsvariable
U = 12 X1 + 14 X2 − 31 X3 + X4 .
Wie groß ist V(U) ?
(Schira Aufg. 10.5)
Aufgabe Z3:
Portfolio. Eine Aktie der Gesellschaft BASF werfe einen mittleren Jahresgewinn (Dividende + Kursgewinn) von
µ = 20 e ab. Die Unsicherheit im tatsächlichen Gewinn soll in seiner Standardabweichung σ = 40 e
zum Ausdruck kommen.
a) Wie groß sind Erwartungswert und Standardabweichung des Gewinns eines Portfolios mit
drei Aktien der Gesellschaft BASF ?
b) Angenommen, es gäbe zwei weitere Gesellschaften, SAP und DB, deren Aktien genau dieselben
Erwartungswerte und Standardabweichungen für ihre Gewinne aufweisen wie im Falle der Gesellschaft
BASF. Die Höhe der Gewinne der drei Aktientypen soll jedoch unabhängig sein.
Wie groß sind Erwartungswert und Standardabweichung für ein Portfolio, das von jeder der drei
Gesellschaften genau eine Aktie enthält ?
(Schira Aufg. 10.6)
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