¨Ubungsblatt 10

Abteilung Empirische
Wirtschaftsforschung
Statistik I WS 07/08
Prof. Fitzenberger, Ph.D.
Übungsblatt 10
Die mit z) gekennzeichneten Aufgabenteile sind in Gruppenarbeit zu lösen und im Rahmen des Hausaufgabenwettbewerbs am Lehrstuhl abzugeben. Die Lösungen für diese Aufgabenteile werden nach dem
Abgabetermin ins Netz gestellt.
Aufgabe 1:
Basketball. Ein Profi wirft beim Training aus einer Entfernung von sieben Metern auf den Korb. Er
triift bei jedem Wurf mit einer Wahrscheinlichkeit von p = 1/2. Die Zufallsvariable X ist definiert als die
Anzahl der Treffer bei einer Serie von vier Würfen.
a)
Geben Sie die Massenfunktion dieser Zufallsvariablen an.
b)
Wie groß sind Modus, Median, Erwartungswert und Varianz von X?
c)
Berechnen Sie die Schiefe der Verteilung.
d)
Zeichnen Sie die Verteilungsfunktion.
(Aufgabe aus Schira, Kapitel 9; Aufg. 9.1)
Aufgabe 2:
Folgende Wahrscheinlichkeitsfunktion ist gegeben:
xi
f (xi )
-3
0,25
2
0,5
6
0,25
a)
Bestimmen und zeichnen Sie die Verteilungsfunktion der Zufallsvariablen X.
b)
Berechnen Sie den Erwartungswert und die Varianz.
c)
Bestimmen Sie die Schiefe und Kurtosis dieser Verteilung.
Aufgabe 3:
Exponentialverteilung. Betrachten Sie die Funktion
f (x) = e−x , für 0 ≤ x ≤ ∞
a)
Zeigen Sie, dass f (x) eine Dichtefunktion ist.
b)
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die von dieser Dichtefunktion charakterisierte
Zufallsvariable X einen größeren Wert als 0.5 annimmt?
c)
Berechnen Sie den Modus und den Median.
d)
Berechnen und zeichnen Sie zu f (x) die Verteilungsfunktion F (x).
(Aufgabe aus Schira, Kapitel 9; Aufg. 9.5)
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Wirtschaftsforschung
Statistik I WS 07/08
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Aufgabe 4:
Erwartungswert einer Funktion. Die stetige Zufallsvariable X sei im Bereich 0 < x < 3 gleichförmig
mit der konstanten Dichte von 1/3 verteilt.
a)
Wie groß ist der Erwartungswert von X?
b)
Berechnen Sie den Erwartungswert der reziproken Zufallsvariablen g(X) = 1/X. Unterscheidet er sich vom Wert 1/E(X) und wenn ja, warum?
c)
Berechnen Sie den Erwartungswert der Funktion g(X) = 4X + 2. Unterscheidet er sich vom
Wert g[E(X)] und wenn ja, warum?
(Aufgabe aus Schira, Kapitel 9; Aufg. 9.7)
Aufgabe 5:
Bei einem regulären Würfel soll die Zufallsvariable X zweimal die auftretende Augenzahl sein. Die Zufallsvariable Y nehme die Werte 1 oder 3 an, je nachdem, ob die Augenzahl ungerade oder gerade ist.
Gesucht sind die Wahrscheinlichkeitsverteilung, der Erwartungswert, die Varianz und die Standardabweichung von
a)
X
b)
Y
c)
X +Y
d)
X ·Y
Aufgabe Z1:
Dreiecksverteilung. Die Verteilung einer kontinuierlichen Zufallsvariable X sei durch folgende Dichtefunktion f definiert:

für 0 < x < 1
 2ax
3a − ax für 1 ≤ x < 3
f (x) =

0
sonst.
Dabei ist a eine geeignet zu wählende Konstante.
a)
Wie groß muss a sein? (Begründung)
b)
Fertigen Sie eine Skizze für die Dichtefunktion an.
c)
Wie groß sind folgende Wahrscheinlichkeiten:
P (X = 1),
P (0.5 < X < 2) und
P (X < 2) ?
d)
Wie groß ist die bedingte Wahrscheinlichkeit
P (X < 1 |X < 0.5) ?
e)
Ist der Modus größer als der Erwartungswert?
(Aufgabe aus Schira, Kapitel 9; Aufg. 9.3)
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Aufgabe Z2:
Abschätzung. Wenn eine Zufallsvariable den Mittelwert 10 und die Varianz 2 hat, wie groß sind dann
höchstens oder mindestens die Wahrscheinlichkeiten
a)
P (X < 7 ∪ 13 < X)
b)
P (5 < X < 15)
c)
P (2 > X ∪ X > 18) ?
(Aufgabe aus Schira, Kapitel 9; Aufg. 9.8)
Aufgabe Z3:
Beweisen Sie den Satz (9-13). Benutzen Sie dazu die Definitionen (9-11a) und (9-11b).
(Aufgabe aus Schira, Kapitel 9; Aufg. 9.9)
Aufgabe Z4:
St. Petersburger Spiel. Sie dürfen so lange mit einer Münze werfen, bis zum ersten Mal ”Kopf”
erscheint. Dann ist das Spiel beendet und es erfolgt die Gewinnauszahlung G. Erscheint schon beim
ersten Wurf ”Kopf” erhalten Sie nur 2 Rubel. Fällt beim zweiten Wurf ”Kopf”, so bekommen Sie 22 = 4
Rubel. Fällt erst beim 10. Mal ”Kopf”, beträgt der Gewinn 210 = 1024 Rubel, usw.
a)
Welche Werte g kann die Zufallsvariable G annehmen? Welche Wahrscheinlichkeitsmassen
kommen den einzelnen Werten zu?
b)
Wie groß ist der Erwartungswert des Gewinns bei diesem Spiel?
c)
Hat die Verteilung einen Median? Wie groß wäre er?
(Aufgabe aus Schira, Kapitel 9; Aufg. 9.10)
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