7. ¨Ubung zur Mathematik II für Biologen
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Dr. S. Wiesendorf Sommersemester 2016 7. Übung zur Mathematik II für Biologen (Abgabe der schriftlichen Aufgaben in der Übungsstunde am 6. bzw. 7. Juni) Aufgabe 1. (10 Punkte, schriftlich) Aus einer Urne mit zwei schwarzen und zwei roten Kugeln wird viermal ohne Zurücklegen gezogen. Betrachten Sie die Zufallsvariablen X = Anzahl des Zuges, in dem die zweite rote Kugel gezogen wird“, ” Y = Anzahl der schwarzen Kugeln, die in den ersten drei Zügen gezogen werden“. ” (a) Stellen Sie das oben beschriebene Experiment mittels eines Wahrscheinlichkeitsbaumes dar. (b) Bestimmen Sie die Verteilungen von X und Y . (c) Berechnen Sie den Erwartungswert von X und Y . (d) Berechnen Sie die Varianz und die Standardabweichung von X und Y . Aufgabe 2. (10 Punkte, schriftlich) Die von einem Baum fallenden Blätter werden vom Wind in alle Richtungen verweht. Die Wahrscheinlichkeit, im Abstand r vom Stamm ein Blatt zu finden, nimmt mit wachsendem r ab. Nehmen Sie eine Wahrscheinlichkeitsdichte der Form ( r 1 −µ , r ≥ 0, µ e f (r) = 0, r < 0, an, wobei wir den Stamm idealisierterweise als Gerade und damit das Problem insbesondere als rotationssymmetrisch auffassen. (a) Bestimmen Sie im Fall einer mittleren Distanz von µ = 8m die Wahrscheinlichkeit, dass ein Blatt innerhalb eines Kreises von r = 8m fällt. (b) Welcher Abstand eines Blattes zum Baum ist im allgemeinen Fall zu erwarten? Aufgabe 3. (10 Punkte, schriftlich) Die Dichte einer stetigen Zufallsvariablen X sei x ≤ 1, 0, (x − 1)2 , 1 ≤ x ≤ 2, f (x) = − 34 x + 52 , 2 ≤ x ≤ 10 3 , 0, x ≥ 10 . 3 (a) Skizzieren Sie den Graphen von f . (b) Bestimmen und skizzieren Sie die zugehörige Verteilungsfunktion. (c) Berechnen Sie den Erwartungswert E(X). Aufgabe 4. (mündlich) Sie führen im Labor ein Experiment mit einem komplizierten Versuchsaufbau durch. Aus Erfahrung wissen Sie, dass Sie bei jeder Durchführung des Experiments mit einer Wahrscheinlichkeit p keinen Fehler machen werden. Um aussagekräftige Ergebnisse zu erhalten, müssen Sie das Experiment r-mal korrekt durchführen. Die Zufallsvariable X beschreibe die Anzahl der Misserfolge, die Sie haben, bis Sie das Experiment zum ersten Mal r-mal korrekt durchgeführt haben. Die Zufallsvariable X folgt dabei der sogenannten negativen Binomialverteilung, d.h. für k ∈ N ist k+r−1 P (X = k) = (1 − p)k pr . k (a) Sie benötigen Ergebnisse von drei korrekt durchgeführten Experimenten. Berechnen Sie für p = 0.9 die Wahrscheinlichkeit, dass Sie mehr als zwei Misserfolge erleiden, bis Sie Ihr Ziel erreicht haben. (b) Berechnen Sie für r = 1 den Erwartungswert von X. Hinweis: Dies ist keine diskrete Zufallsvariable im Sinne der Vorlesung, da die Menge der Realisationen nicht endlich ist (vgl. Blatt 5, Aufgabe 5). Der Erwartungswert wird in diesem Fall aber ganz analog berechnet. Hierfür dürfen Sie die Summenformel und den Grenzwert der geometrische Reihe Pn n+1 n→∞ 1 −−−−→ 1−q für |q| < 1. verwenden, k=0 q k = 1−q 1−q Aufgabe 5. (mündlich) (a) Ist die Dichte f einer stetigen Zufallsvariablen X bezüglich einer Zahl µ symmetrisch, d.h. gilt f (µ + x) = f (µ − x) für alle x ∈ R, dann hat X den Erwartungswert E(X) = µ (falls E(X) existiert). (b) Bestimmen Sie den Erwartungswert einer normalverteilten Zufallsvariablen X ∼ N (µ, σ 2 ). Kennen Sie eine weitere stetige Verteilung, deren Erwartungswert Sie mit Teil (a) bestimmen können?
