Serie 5

Dr. Antje Kiesel
Wintersemester 2011/2012
Grundlagen der Biometrie in Agrarwissenschaften /
Ernährungswissenschaften
Serie 5
Abgabedatum: 14.11.-18.11.2011
Aufgabe 1 Wir nehmen an, dass an einem Wochenende etwa 70 Millionen Lottotips abgegeben
werden.
a) Begründen Sie, dass die Anzahl der
näherungsweise Poisson-verteilt mit
Hauptgewinne
7 .)
Parameter 5 ist. (Beachten Sie 49
≈
1,4
·
10
6
b) Berechnen Sie mit dieser Poisson-Verteilung die Wahrscheinlichkeit für höchstens zwei
(mindestens vier) Hauptgewinne.
c) Es sei bereits bekannt, dass mindestens ein Hauptgewinn erzielt wurde. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wurden genau zwei Hauptgewinne erzielt?
Aufgabe 2 Die Zufallsvariablen X, Y und Z seien unabhängig und wie folgt verteilt: X sei
gleichverteilt auf der Menge {1, . . . , 6}, Y sei binomialverteilt mit Parametern n = 1000 und
p = 1/2, und Z sei Poisson-verteilt mit Parameter λ = 5. Berechnen Sie Erwartungswert und
Varianz von X + Y , X + Z, Y + Z und X − 21 Y .
Aufgabe 3 Zeigen Sie, dass für die Varianz einer Summe von zwei Zufallsvariablen gilt:
Var(X + Y ) = Var(X) + Var(Y ) + 2 Cov(X, Y ),
wobei die Kovarianz von X und Y durch Cov(X, Y ) := E [(X − E(X))(Y − E(Y ))] definiert ist.
Bemerkung: Zwei Zufallsvariablen, deren Kovarianz gleich Null ist, heißen unkorreliert. Unabhängige Zufallsvariablen sind demzufolge unkorreliert. Im Allgemeinen gilt aber nicht, dass
unkorrelierte Zufallsvariablen unabhängig sind!!!
Aufgabe 4 X und Y seien Zufallsvariablen mit E(X) = 1, E(Y ) = 2, Var(X) = 3, Var(Y ) = 4.
a) Lassen sich mit diesen Informationen Erwartungswert und Varianz von X + Y und X − Y
berechnen?
b) Ändert sich die Beurteilung, wenn zusätzlich bekannt ist, dass X und Y unabhängig sind
(dass Cov(X, Y ) = 1 gilt)?
c) Berechnen Sie, soweit möglich, Erwartungswert und Varianz von X + Y und X − Y .
Aufgabe 5 Geben Sie zu den Zufallsvariablen X, Y und Z aus Aufgabe 2 jeweils die zentrierte
und die standardisierte Variable an.
Aufgabe 6 Die Zufallsvariable X sei binomialverteilt mit Parametern n = 2 und p = 1/2,
Y sei die zugehörige standardisierte Variable, und Z sei durch Z := (X − 3)/4 definiert. Berechnen Sie für jede reelle Zahl a die Wahrscheinlichkeiten P [Y = a] und P [Z = a].
Aufgabe 7 Es seien X und Y Zufallsvariablen, und a und b reelle Zahlen. Geben Sie das
Gegenereignis zu dem folgenden Ereignis an: X > a und |Y | ≤ b.
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