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UniBwM, Fakultät EIT
Neubiberg, 17.3.08
Übungen zur Wahrscheinlichkeitstheorie
Blatt 10
Aufgabe 1
In der Umgebung von 10 Kernkraftwerken werden je 100 (zufällig ausgewählte) Personen auf
eine bestimmte Krankheit hin untersucht, die im Bundesdurchschnitt bei 1 % der Bevölkerung
vorkommt. Es wird vereinbart, ein Kraftwerk als auffällig zu bezeichnen, falls unter den 100
Personen mindestens 3 dieses Krankheitsbild zeigen.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß wenigstens ein Kraftwerk auffällig wird, obwohl die
Erkrankungswahrscheinlichkeit in der Umgebung aller 10 Kraftwerke genauso groß wie im
Bundesdurchschnitt ist?
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß keines auffällig wird, obwohl die Erkrankungswahrscheinlichkeit in der Umgebung aller 10 Kraftwerke 2 % beträgt?
Zusatz: Welche Ergebnisse erhält man, wenn man die exakten Binomialwahrscheinlichkeiten
durch die Poissonsche Näherung ersetzt?
Hinweis: 5.1.2; 5.3.3.
Aufgabe 2
Vor einem Laden sollen Kundenparkplätze angelegt werden. Im Schnitt kommen pro Stunde
12 Kunden mit dem Auto. Jeder Kunde hält sich im Mittel 5 Minuten im Laden auf (d.h. er
nimmt 5 Minuten lang den Parkplatz in Anspruch). Wie viele Parkplätze müssen angelegt
werden, wenn in höchstens 10% (bzw. 5%) aller Fälle kein Parkplatz frei sein soll?
Hinweis: 5.3; die Anzahl der in einem Zeitintervall der Länge t (Minuten) ankommenden
Kunden sei Poisson-verteilt mit Parameter 8t, wobei 8>0 ein geeigneter Proportionalitätsfaktor
ist. Ein neu ankommender Kunde findet keinen Parkplatz, wenn in dem fünfminütigen
Zeitintervall vor seiner Ankunft mindestens so viele Kunden angekommen sind, wie Parkplätze
zur Verfügung stehen. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses in Abhängigkeit
von der zunächst unbekannten Anzahl n der Parkplätze und bestimmen Sie dann die gesuchte
Zahl n.
Aufgabe 3
a) Die Durchmesser der in einer Fabrik hergestellten Schrauben seien normalverteilt mit
:=0.25 ”cm› und F=0.02 ”cm›. Eine Schraube wird als unbrauchbar betrachtet, wenn ihr
Durchmesser kleiner als 0.2 cm oder größer als 0.28 cm ist. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,
daß eine produzierte Schraube dem Ausschuß zuzurechnen ist?
b) Die Anzahl A der in einer Klausur erzielten Punkte sei eine normalverteilte Zufallsvariable
mit dem Erwartungswert 65 und F 2=100. Berechnen Sie P(70 < A # 80).
Hinweis: 5.5; es genügt, die gesuchten Wahrscheinlichkeiten mit Hilfe der Verteilungsfunktion
M der Standardnormalverteilung auszudrücken.
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Aufgabe 4
a) Die stetige Zufallsvariable X sei gleichverteilt auf dem Intervall [0, π4 ] . Berechnen Sie die
Dichte von Y:= tan X.
b) Die Zufallsvariable X sei standardnormalverteilt, also mit der Verteilungsfunktion M.Welche
Wahrscheinlichkeitsdichte hat die Zufallsvariable Y:= - ln (1 - M(X))?
Hinweis: Erst Verteilungsfunktion von Y berechnen, daraus die Dichte durch Ableiten.
Aufgabe 5
Untersuchen Sie, ob die folgenden Funktionen f: ú² 6 ú Dichten von zweidimensionalen
Normalverteilungen sind. Wenn ja, geben Sie die Parameter a und C dieser Normalverteilungen
an.
1
2
(i) f ( x1 , x 2 ) =
exp{− ( x12 − x1 x 2 + x 22 )};
3
π 3
1
1
(ii) f ( x1 , x 2 ) =
exp{− ( x12 − 4 x1 x 2 + x 22 )};
2π
2
1
(iii) f ( x1 , x 2 ) =
exp{− ( x12 − 2 x1 x 2 + x 22 )}.
π 2
Hinweis: 5.7.2, Bemerkung 5 und Beispiel dazu.