Doz. Dr. H.P. Scheffler Sommer 2000 Nachklausur zur Vorlesung

Doz. Dr. H.P. Scheffler
Sommer 2000
Nachklausur zur Vorlesung Stochastik I
Wählen Sie aus den folgenden sechs Aufgaben fünf Aufgaben aus. Die
maximal erreichbare Punktezahl finden Sie neben jeder Aufgabe. Tragen Sie die Nummern der gewählten Aufgaben in das folgende Kästchen
ein:
Gewählte Aufgabe
Die Bearbeitung anderer Aufgaben(teile) wird nicht bewertet.
Für einen qualifizierenden Studiennachweis benötigen Sie mindestens
16 ± ε Punkte. Für einen Leistungsnachweis sind mindestens 22 ± ε
Punkte notwendig.
Bitte verwenden Sie für jede Aufgabe ein gesondertes Blatt welches Sie
mit Ihrem Namen und der Matrikelnummer versehen.
Achten Sie in der Klausur auf sorgfältige und exakte Formulierungen.
Geben Sie, falls gefordert, Definitionen oder Sätze stets exakt (mit allen
Voraussetzungen) an.
Die Aufgaben sind so gestaltet, daß die einzelnen Aufgabenteile aufeinander aufbauen. Sie dürfen also Resultate von Aufgabenteilen in den
nächstfolgenden benutzen, auch wenn Sie diese nicht gelöst oder bearbeitet haben.
Bei der Bearbeitung der einzelnen Aufgaben genügt es, entsprechende
Formeln abzuleiten, exakte numerische Berechnungen, etwa mit Hilfe
eines Taschenrechners sind nicht erforderlich.
Hilfsmittel (Bücher, Skripten) sind nicht zugelassen!
1
2
Aufgabe 1: Bei der Glücksspirale der Olympialotterie 1971 wurden
die 7–ziffrigen Gewinnzahlen auf folgende Art ermittelt: Aus einer
Trommel, welche je 7 Kugeln mit den Ziffern 0, . . . , 9 enthielt, wurden nach Durchmischen 7 Kugeln entnommen und deren Ziffern in der
Reihenfolge des Ziehens zu einer Zahl angeordnet.
(a) Geben Sie ein geeignetes mathematisches Modell an.
(b) Zeigen Sie, daß die Gewinnwahrscheinlichkeiten der einzelnen
(gleich teuren!) Lose verschieden sind. (Berechnen Sie die
Wahrscheinlichkeit das 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0 sowie das 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
gezogen wurde und vergleichen Sie diese.)
(c) Definieren Sie und geben Sie die Mächtigkeit an der
(c1) k-Permutationen ohne Wiederholung einer n-elementigen
Menge;
(c2) k-Kombinationen ohne Wiederholung einer n-elementigen
Menge.
8P
3
Aufgabe 2: Ein Elektronikfachmarkt wird von drei Lieferanten Li ,
i = 1, 2, 3 mit Disketten beliefert. Die Lieferanten liefern 20%, 30%
bzw. 50% des Bedarfs. Erfahrungsgemäß sind unter 1000 gelieferten
Disketten des Lieferanten Li , 4, 3 bzw. 20 Stück defekt.
(a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß ein Kunde in dem
Fachmarkt eine defekte Diskette kauft?
(b) Ein Kunde beschwert sich, daß er eine defekte Diskette gekauft
hat. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit daß diese Diskette aus
der Lieferung des Lieferanten L3 stammt?
(c) (c1) Geben Sie den Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit an.
(c2) Geben Sie die Bayessche Formel an.
8P
4
Aufgabe 3: Die logistische Verteilung ist durch die Verteilungsfunktion
1
F : x 7→
1 + e−x
definiert.
(a) Zeigen Sie, daß F eine Verteilungsfunktion ist.
(b) Zeigen Sie, daß diese Verteilung eine Dichte f besitzt und bestimmen Sie diese.
(c) Zeigen Sie: Ist X eine reelle Zufallsvariable mit Verteilungsfunktion F so gilt für alle h > 0, daß
P {X ≥ h} = P {X ≤ −h}.
(Man nennt die Verteilung symmetrisch um 0.)
(d) Definieren Sie:
(d1) Varianz einer Zufallsvariablen.
(d2) Lebesgue-Dichte einer Verteilung.
8P
5
Aufgabe 4: Die Länge X eines Telefongesprächs sei eine R+ –wertige
Zufallsvariable deren Verteilung die Lebesgue-Dichte
f (x) = C exp(−2x)1[0,∞) (x)
besitzt.
(a) Bestimmen Sie die Konstante C. (Kontrolle: C = 2.)
(b) Geben Sie die
(b1) Verteilungsfunktion von X an.
(b2) mittlere Länge E(X) eines Telefonats an.
(c) Die Kosten eines Telefonats der (deterministischen) Länge x
berechnen sich nach der Formel
K(x) = 1(0,3] (x) + (1 + (x − 3))1(3,∞) (x)
(Sockelbetrag + linearer Anstieg)
Berechnen Sie die mittleren Kosten E(K(X)) eines Telefonats.
(d) Formulieren Sie die Transformationsformel für eine Zufallsvariable deren Verteilung die Lebesgue-Dichte f besitzt.
10P
6
Aufgabe 5: Es sei X eine auf [−1, 1] gleichverteilte Zufallsvariable.
(a) Zeigen Sie, daß X und Y = X 2 unkorreliert sind.
(b) Zeigen Sie, daß Yk = sin(πkX) (k ≥ 1) paarweise unkorreliert
sind.
(c) Zeigen Sie, daß
n
1X
sin(πkX) → 0 stochastisch für n → ∞
n k=1
gilt.
(d) Formulieren Sie das schwache Gesetz der großen Zahlen.
10P
7
Aufgabe 6: In einem Friseur-Laden mit 9 Friseuren dauert ein Haarschnitt
10 Minuten. Herr Snyder betritt den Laden und sieht, daß alle 9
Friseure beschäftigt sind.
Die Zeitpunkte T1 , . . . , T9 des Fertigwerdens der Friseure 1, . . . , 9 seien
in [0, 10] gleichverteilt und unabhängig. Es bezeichne T die Wartezeit
von Herrn Snyder bis er bedient werden kann.
(a) (a1) Geben Sie eine Formel für T an.
(a2) Zeigen Sie, daß die Verteilungsfunktion FT von T die Gestalt


t<0
0
t 9
FT (t) = 1 − (1 − 10 ) 0 ≤ t ≤ 10

1
t > 10
hat.
(b) Berechnen Sie die Dichte der Verteilung von T .
(c) Berechnen Sie die mittlere Wartezeit E(T ) von Herrn Snyder.
(d) Definieren Sie die Begriffe
(d1) Verteilungsfunktion einer Zufallsvariable;
(d2) Unabhängigkeit einer Folge von Zufallsvariablen.
8P