Blatt 5

INSTITUT FÜR STOCHASTIK
UNIVERSITÄT KARLSRUHE
Priv.-Doz. Dr. D. Kadelka
WS 2009/10
Blatt 5
Übungen zur Vorlesung
Statistik für Biologen
(*) Aufgabe 19: (5 Punkte)
Das Gewicht 25-jähriger Männer (in kg) sei näherungsweise LN(4.34, 0.0256)-verteilt.
a)
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein 25-jähriger Mann leichter als 70 kg ist?
b)
Wie schwer muss ein 25-jähriger Mann mindestens sein, um zu den schwersten 10 %
seiner Altersklasse zu gehören?
Aufgabe 20:
Die Lebensdauer (in Jahren) des instabilen Kohlenstoff-Isotops C14 ist exponentialverteilt
mit Parameter λ = 0.000121.
a)
Wie groß ist die mittlere Lebensdauer eines C14 -Atoms?
b)
Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist ein C14 -Atom nach t Jahren noch nicht zerfallen?
c)
In einer Substanz seien n C14 -Atome vorhanden; der Zerfall eines Atoms habe keinen
Einfluss auf die anderen Atome. Wie viele Atome sind im Mittel nach t Jahren noch
vorhanden?
d)
Berechnen Sie die Halbwertszeit von C14 (also die Zeit, nach der im Mittel die Hälfte
der Atome zerfallen ist).
(*) Aufgabe 21: (5 Punkte)
Berechnen Sie den Erwartungswert und die Varianz der folgenden Zufallsvariablen.
a) 6 faire Münzen werden geworfen und die Zufallsvariable X sei die Anzahl der Münzen,
die Kopf anzeigen.
b) Zwei faire Würfel werden geworfen und die Zufallsvariable Y sei die Summe der Augenzahlen.
Hinweis: Wie groß ist P (Y = k) für k = 2, . . . , 12 ?
Aufgabe 22:
Die Exzentrizität X von Werkstücken hat (unter gewissen Bedingungen) die Dichte
2
2 · α · x · e−α·x , falls x > 0
fα (x) :=
,
0
falls x ≤ 0
wobei α > 0 eine Konstante ist. Diese Verteilung heißt Rayleigh-Verteilung.
a)
Skizzieren Sie für α = 2 die Funktion f2 .
b)
Zeigen Sie, dass die Funktion fα eine Wahrscheinlichkeitsdichte ist.
c)
Berechnen Sie die Verteilungsfunktion Fα zur Dichte fα .
d)
Welche Verteilung hat die Zufallsvariable X 2 ?
(*) Aufgabe 23: (10 Punkte)
Die Zufallsvariable X besitze die Dichte
( x+1
,
2
f (x) =
0,
und damit die Verteilungsfunktion




F (t) =



falls − 1 ≤ x ≤ 1,
sonst
0
,
−∞ < t < −1,
t+1 2
2
,
−1 ≤ t ≤ 1,
1
,
t > 1.
a) Skizzieren Sie die Dichte und die Verteilungsfunktion von X.
b) Berechnen Sie den Median, das untere und das obere Quartil und den Modalwert dieser
Verteilung.
c) Bestimmen Sie den Erwartungswert und die Varianz der Zufallsvariablen X.
Abgabetermin:
Abgabeort:
Mittwoch, den 25.11.2009, 1300 Uhr.
Abgabekasten (Statistik für Biologen) links neben dem Eingang
(durchgehen) zum Institut für Stochastik, 5. Stock im Allianzgebäude 05.20 (direkt an der Straßenbahnhaltestelle Kronenplatz)