Sachvmuebungen

Sachversicherungsmathematik
1. Übungsblatt
2017
Man bestimme in 1. - 4.
E(X), V(X), V KO(X)
1.
X ∼ P (λ)
- Poissonverteilung mit
2.
X ∼ B(n, p)
- Binomialverteilung mit
3.
X ∼ Ga(α, β)
X ∼ F (x) ,
P(X = k) = e−λ λk /k! ,
:
k ∈ N0 .
n ∈ N, p ∈ (0, 1) :
( )
n k
P(X = k) =
p (1 − p)n−k , 0 ≤ k ≤ n .
k
Gammaverteilung mit
{
βα
Γ(α)
f (x) =
4.
λ>0
durch Summation bzw. Integration:
α, β > 0:
xα−1 e−βx ,
0 ,
x≥0
x < 0.
mit der Verteilungsfunktion
5. Man berechne

0


 2
x
F (x) =
x



1
,
,
,
,
x<0
0 ≤ x < 12
1
≤x<1
2
x > 1.
E(X), V(X), SCH(X), M (t) = E(etX )
und skizziere die Punktwahr-
scheinlichkeiten:
xi
−1
0
2
3.5
6.
X ∼ Ex(λ)
- Exponentialverteilung mit Parameter
{
F (x) =
Man berechne
pi
0.1
0.5
0.3
0.1
1 − e−λx ,
0 ,
λ>0
und Verteilungsfunktion
x≥0
x < 0.
f (x), E(X), V(X), V KO(X), E(X n ), SCH(X).
7. Für die Kumulantenerzeugende Funktion
′
L (0) = E(X),
′′
L(t) := ln M (t) = ln E(etX )
L (0) = V(X),
zeige man:
′′′
L (0) = E(X − E(X))3 .
8. Wie Beispiel 6, mit Verwendung der erzeugenden Funktionen
M (t)
und
L(t).
Sachversicherungsmathematik
2. Übungsblatt
X , die ein 3. Moment besitzt. Die Dichte einer
Zufallsvariable Xβ sei gβ (x) := βf (βx). (β > 0 wird oft als Skalenparameter bezeichnet.)
Zeigen Sie: V KO und Schiefe von Xβ sind unabhaengig von β .
9. Sei
10. Sei
f (x)
2017
die Dichte einer Zufallsvariable
X ∼ N (µ, σ 2 )
- Normalverteilung mit Parameter
f (x) = √
(µ, σ) ∈ R × R+
und Dichte
(x−µ)2
1
e− 2σ2 .
2πσ
M (t), E(X), V(X), SCH(X).
√
Es sei X ∼ Ex(1) und Y =
X . Berechnen Sie die Dichte von Y , die Verteilungsfunktionen von X und Y , P(1 ≤ X ≤ 4), P(1 ≤ Y ≤ 2), und skizzieren Sie die Dichten mit
Man berechne
11.
den beiden Wahrscheinlichkeiten.
X ∼ N (µ, σ 2 ) und Y = eX (Y nennt man
Berechnen Sie von Y die Dichte und alle Momente.
12. Es sei
dann logarithmisch normalverteilt).
Man bestimme in den Beispielen 13 und 14 die Verteilung von
S=
n
∑
Ri ,
Ri
unabhängig .
i=1
13.
Ri ∼ N B(αi , p)
- negative Binomialverteilung mit
(
P(Ri = k) =
14.
Ri ∼ N (µi , σi2 ).
αi > 0, p ∈ (0, 1):
)
αi + k − 1 αi
p (1 − p)k ,
k
k = 0, 1, . . .
In den Beispielen 15 und 16 ist die Verteilung von
S
sowohl direkt über die Faltung als auch
mithilfe von erzeugenden Funktionen zu berechnen.
15.
Ri ∼ B(ni , p) .
16.
Ri ∼ Ga(αi , β) − Man
betrachte auch den Spezialfall
αi = 1.
Sachversicherungsmathematik
3. Übungsblatt
2017
17. Gegeben sei ein groÿer Versicherungsbestand, mit gleichverteilten, unabhängigen Risiken
Ri , i = 1, . . . , n. Die Ri seien normalverteilt mit Parametern µ = 1 und σ 2 ∑
= 0.1. Pro
n
Risiko wird eine Prämie c ≥ E(R) eingehoben. Der Gesamtschaden sei Sn =
i=1 Ri .
Aus der Theorie der groÿen Abweichungen ist folgendes bekannt. Seien Xi i.i.d. Zufalls
∑n
variable mit Erwartungswert gleich Null, sei Zn =
i=1 Xi und sei M (t) die momentenerzeugende Funktion der Xi . Dann gilt
P [Zn > na]1/n → e−Ψ(a)
(n → ∞),
(
)
Ψ(a) = − ln inf {e−at M (t)}
wobei
t>0
P(Sn > nc)
(a) Berechnen Sie die Illiquidätswahrscheinlichkeit
(b) Berechnen Sie für
18. Sei
X
n = 1000
die Einzelprämie
c,
sodaÿ
für groÿes
P(Sn > nc) = 0.001.
eine positive Zufallsvariable mit endlichem Erwartungswert
∫
E(X) =
∞
n.
E(X).
Zeige
P (X ≥ x) dx
0
19. Für einen Bestand von vier 1-jährigen Ablebensversicherungen
(1 Axi , V Si ) gegeben durch
VS in Mio.
Alter/Geschlecht
1
2
4
68/w
67/m
1
-
1
-
2
-
berechne man:
(a) die Punktwahrscheinlichkeiten und die Verteilungsfunktion (sowohl durch die Betrachtung aller möglichen Szenarien als auch durch Verwendung der mgf.);
(b)
E(S)
und
V(S);
(c) den kleinsten Sicherheitszuschlag für den Gesamtbestand, sodaÿ die Illiquiditätswahrscheinlichkeit unter 10 % ( 5 % ) liegt.
20. Die Struktur eines Bestandes
B (n = 30)
von 1-jährigen Risikoversicherungen sei durch
folgende Bestandsmatrix gegeben:
VS in Mio.
Man berechne
Alter/Geschlecht
0.5
1
1.25
2
3.75
64/w
-
-
1
-
2
78/w
1
2
-
2
-
E(S), V(S)
90/w
3
-
3
-
2
68/m
-
-
1
2
1
84/m
1
1
1
-
-
93/m
-
2
-
3
2
und schätze mithilfe der Ungleichung von Tschebysche die
Wahrscheinlichkeit, daÿ der Gesamtschaden um mindestens 100% von der Nettoprämie
des Bestandes abweicht, nach oben ab.
21. Für eine Zufallsvariable
X
mit
E(|X|p ) < ∞
P(|X| ≥ λ) ≤
(Für
p=2
für ein
1
E(|X|p )
λp
p > 0,
für
beweise man:
λ > 0.
ergibt sich die Ungleichung von Chebychev.)
Bewerten Sie für
p = 2
die Güte dieser oberen Schranke, indem Sie für
und eine Standardnormalverteilung die Wahrscheinlichkeit
P(|X| ≥ λ)
λ = 1, 2, 3, 4
sowohl nach oben
abschätzen als auch exakt berechnen.
22. Unter der Voraussetzung, daÿ
M := E(ek|X| )
existiert für ein
k>0
beweise man:
P(|X| ≥ λ) ≤ M e−kλ .
23. Ein Bestand sei im 1. Jahr gegeben durch
(1)
Risiken Ri
(i = 1, ..., 10) mit der Verteilung
V1 = 10
unabhaengig identisch verteilten
(1)
P (R1 = 1) = 0.1
(1)
P (R1 = 0) = 0.9
Im 2. Jahr bestehe er aus
V2 = 30
(2)
Ri
Risiken
Bekannt seien nur die Werte von
Sj
=
Zj =
Vj
∑Vj
i=1
an, und vergleichen Sie mit der Varianz
j = 1, 2
(j)
µ̂ fuer µ = E(Ri )
von µ̄ = (Z1 + Z2 )/2.
Geben Sie den erwartungstreuen Schaetzer
die ebenso verteilt sind.
(j)
Ri
Vj
(i = 1, ..., 30),
mit der kleinsten Varianz
24.
X
und
Y
haben eine gemeinsame Verteilung mit folgender Dichte
f (x, y) = axy1{X>0,Y >0,X+Y ≤1}
(1A bezeichnet die Indikatorfunktion der Menge
(a) Bestimmen Sie
a.
(b) Bestimmen Sie
E(X), E(Y ), E(X|Y ).
A)
Sachversicherungsmathematik
4. Übungsblatt
25.
X
µ.
und
Y
2017
seien unabhaengig voneinander und exponentialverteilt mit Parametern
Bestimmen Sie die Verteilung von
Bestimmen Sie
K
N
und
und
min(X, Y ).
K . N sei poissonverteilt mit Parameter λ. Weiters
N gegeben durch
( )
n k
fK|N (k|n) =
p (1 − p)n−k
k
26. Gegeben seien 2 Zufallsvariable
sei die Verteilung von
max(X, Y )
λ
und
bedingt auf
E(K|N ), E(K)
und
E(N |K).
27. Eine Versicherung habe einen homogenen Bestand von 100 5-jaehrigen Ablebensversicherungen von 65-jaehrigen Frauen mit identischer Versicherungssumme. Geben Sie die
Verteilung der Schadenzahl
N
im kollektiven Modell an.
28. Eine Versicherung habe einen Bestand von 100 1-jaehrigen Ablebensversicherungen von
65-jaehrigen Frauen mit Versicherungssumme
V S = 700.000
sowie 100 1-jaehrigen Able-
bensversicherungen von 50-jaehrigen Maennern mit Versicherungssumme
V S = 1.000.000.
Modellieren Sie diesen Sachverhalt im kollektiven Modell, indem sie jeweils eine Frau und
einen Mann zu einem Einzelschaden zusammenfassen.
29. Die Schadenhöhe
X
sei Pareto verteilt
und der Verteilungsfunktion
{
F (x) =
Bestimmen Sie
(X ∼ P a(α, β)), mit den Parametern α > 0, β > 0
1−
(
β
β+x
)α
x ≥ 0,
x < 0.
,
0 ,
E(X) und V(X) für jene Parameterwerte, für die sie deniert sind. Schät(α, β) für die gegebenen Daten.
zen Sie mit der Momentenmethode den Parameter
30. Es sei
(α̂, β̂)
der MLE für den Parameter
(α, β)
aus Bsp. 29.
(a) Zeigen Sie
n
∑
i=1
α̂ = f1 (β̂) = ∑
n
i=1
1
β̂+xi
xi
β̂(β̂+xi )
,
α̂ = f2 (β̂) = ∑
n
n
ln(1 +
i=1
(b) Benützen Sie die Beziehung
β̂
.
xi
)
β̂
f (β̂) := f1 (β̂) − f2 (β̂) = 0,
um für die gegebenen Daten
auf 4 führende Stellen zu berechnen (zum Beispiel Intervallschachtelung mit Start-
intervall
[2000, 4394]). Schätzen Sie dann α̂ mithilfe von (a). Computerunterstützung
ist zu empfehlen!
31. Es sei
X ∼ LogN (µ, σ 2 )
( Lognormalverteilung, siehe Bsp. 12 ).
(a) Beweisen Sie, daÿ die Verteilungsfunktion von
Φ(·)
die Verteilungsfunktion einer
N (0, 1)
X
durch
ln X
wobei
h(·)
(µ, σ 2 ),
indem Sie die ML-
anwenden.
32. Gegeben sei eine kontinuierliche Zufallsvariable
Y = h(X),
gegeben ist, wobei
Zufallsvariablen sei.
(b) Schätzen Sie für die gegebenen Daten den Parameter
Methode für die Zufallsvariable
Φ( ln x−µ
)
σ
X
mit einer Dichte
f (x; θ).
Weiters sei
eine strikt monotone dierenzierbare Funktion ist. Zeigen Sie,
daÿ die ML-Methode für eine Stichprobe
x1 , . . . , xN denselben
h(x1 ), . . . , h(xN ).
ML-Methode für die transformierten Daten
Schätzer liefert wie die
Sachversicherungsmathematik
5. Übungsblatt
33. Führen Sie den
2017
χ2
- Test für die Daten aus der Vorlesung mit einer Fehlerwahrscheinlich-
keit 1. Art von 0.05 für die folgenden Verteilungsmodelle durch, und interpretieren Sie.
Verwenden Sie dabei immer die empfohlene Klasseneinteilung :
(a)
X ∼ P a(α, β)
mit Schätzwert
(2.470, 4394)
für
(α, β).
(b)
X ∼ P a(α, β)
mit Schätzwert
(1.909, 2704)
für
(α, β).
(c)
X ∼ LogN (µ, σ 2 )
mit Schätzwert
(7.021, 1.977)
für
(µ, σ 2 ).
N |(Λ = λ) ∼ P (λ), und Λ habe eine Strukturverteilung Ga(α, β).
β
N ∼ N B(α, p) mit p = β+1
gilt. Verwenden Sie diese Beziehung, um
34. Es sei
E(N ) =
α(1 − p)
,
p
V(N ) =
Zeigen Sie, dass
α(1 − p)
p2
für eine negative Binomialverteilung herzuleiten.
X|(Λ = λ) ∼ Ga(k, λ)
Ga(α, β). Für k = 1
wurde in der VO gezeigt, dass X eine Paretoverteilung besitzt. Für beliebige k ergibt sich
35. Es sei
und
Λ
habe eine Strukturverteilung
die verallgemeinerte Paretoverteilung. Berechnen Sie für diese Verteilung die Dichte sowie
den Erwartungswert.
36. Für den Bestand einer Haftpichtversicherung von
105
Policen ist in folgender Tabelle die
Anzahl der Polizen gegeben, die 0, 1 ,2, 3, 4 , oder 5 Schadensfälle in einem Jahr gemeldet
haben. Die Zufallsvariable
Np sei die Schadenzahl einer durchschnittlichen Police pro Jahr.
Anzahl der Schadensfälle
(a) Modellieren Sie
wenden).
Np
Anzahl der Polizen
0
81056
1
16174
2
2435
3
295
4
36
5
4
mithilfe einer Poissonverteilung
P (λ)
(ML- Schätzer für
λ
ver-
(b) Modellieren Sie
tenschätzer für
Np mithilfe einer negativen
(α, p) verwenden).
Binomialverteilung
(c) Führen Sie für beide Schadenszahlmodelle den
lichkeit 1.Art von
37.
N
0.05
χ2 -Test
N B(α, p)
(Momen-
mit einer Fehlerwahrschein-
durch.
ist die Anzahl der Waldbrände im Monat Juli. Diese Schadenzahl ist Poissonverteilt,
wobei der Parameter
Um ein Modell für
λ
von den Wetterbedingungen abhängt:
Wetterbedg.
Poissonparameter
P(Wetterbedg.)
sehr trocken
300
0.05
trocken
175
0.20
normal
80
0.40
feucht
60
0.25
sehr feucht
30
0.10
N
über längere Zeiträume zu bekommen, berechnen Sie Erwartungs-
wert, Varianz und die Verteilungsfunktion (ausgewertet an 50, 70, 100, 150, 200 und 300)
der zu obiger Tabelle gehörenden mixed-Poisson Verteilung. Vergleichen Sie dies mit der
Verteilung von
P (100).
38. Bestimmen Sie Erwartungswert und Varianz von
lichkeiten und die Verteilungsfunktion von
n P (N = n)
0
0.3
1
0.4
2
0.2
3
0.1
39. Zeigen Sie für
S ∼ CP (λ; X)
kumulantenerzeugenden
40.
N, X
und
S , sowie die Punktwahrschein-
S.
x P (X = x)
1
0.6
2
0.3
3
0.1
E(X 3 ) > 0 gilt SCH(S) > 0. (
3
3
Funktion E(S − E(S)) = λ E(X ) her.)
mit
Leiten Sie mithilfe der
S ∼ CP (λ; X), X ∼ LogN (3.91202, 1.3862943). Bestimmen Sie E(S), V(S) und SCH(S)
für λ = 100 bzw. 1000.