Kapitel 8: Zufallsvariablen, Verteilung, Verteilungsfunktion

Kapitel 8: Zufallsvariablen, Verteilung,
Verteilungsfunktion
1. Es sei (Ω, F, P ) der zum zweimaligen Würfeln gehörige Wahrscheinlichkeitsraum, d.h. Ω = {1, ..., 6} × {1, ..., 6} und F das System aller Teil1
mengen von Ω und P ({(i, j)}) = 36
.
a) Sei R1 = {1, ..., 12} und R1 das System aller Teilmengen von R1 . Die
Zufallsvariable X1 : Ω 7→ R1 (mit Werten in R1 ) sei definiert durch
X1 (i, j) = i + j, (i, j) ∈ Ω. Ermitteln Sie die Verteilung von X1 .
Hinweis: Berechnen Sie PX1 ({k}).
b) Sei R2 = {1, ..., 6} und R2 das System aller Teilmengen von R2 . Die
Zufallsvariable X2 : Ω 7→ R2 sei definiert durch X2 (i, j) = max(i, j),
(i, j) ∈ Ω. Ermitteln Sie die Verteilung von X2 .
c) Sei R = {1, ..., 12} × {1, ..., 6} und R das System aller Teilmengen
von R. Die Zufallsvariable X mit Werten in R sei definiert durch
X(i, j) = (i + j, max(i, j)), (i, j) ∈ Ω. Ermitteln Sie die Verteilung von
X.
Hinweis: Berechnen Sie PX ({(k, l)}), (k, l) ∈ R.
Wie kann man die Verteilungen PX1 und PX2 aus der Verteilung PX gewinnen?
2. Es sei (X, Y ) ein zweidimensionaler zufälliger Vektor mit der Verteilungsfunktion FX,Y (s, t). Berechnen sie mit Hilfe von FX,Y die Wahrscheinlichkeit
P (a ≤ X < b, c ≤ Y < d).
Hinweis: Berechnen Sie zunächst die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse
{X < b, c ≤ Y < d}
und
{X < a, c ≤ Y < d}.
3. Entscheiden Sie, ob folgende Funktionen Verteilungsfunktionen von
Zufallsvariablen sein können.
a) F (x) = sin x,
b) F (x) = exp{−x},
c) F (x) = I[0,∞) (x)(1 − exp{−x}),
1
d) F (x) =
exp{x}
,
1+exp{x}
e) F (x) = xI[0,1) (x) + I[1,∞) (x),
f) F (x) = 13 xI[0,1] (x) + 23 I(1,∞) (x),
g) F (x) = I(0,∞) (x) exp{−xα }, α ∈ R,
h) F (x) = 13 xI[0,1] (x) + I(1,∞) (x))(1 − exp{−x}),
P
k
i) F (x) = (1 − q) ∞
k=0 q I(0,k] (x), q ∈ R.
4. Entscheiden Sie, welche Verteilungen, die zu den möglichen Verteilungsfunktionen aus 3. gehören, eine Lebesguedichte haben und welche zu diskreten
Zufallsvariablen gehören!
5. Die Zufallsvariable X möge folgende Verteilungsfunktion haben:


0 für x ≤ 0,
F (x) = x für 0 < x ≤ 1,


1 für 1 < x.
Berechnen Sie die Verteilungsfunktion und gegebenenfalls die Lebesguedichte
folgender Zufallsvariablen:
a) X1 = X,
b) X2 = X 2 ,
c) X3 = (X − 12 )2 ,
d) X4 = 3 max(X, 12 ),
e) X5 = ln X,
f)
 1
 3,
1
,
X6 =
2
 2
,
3
falls 0 ≤ X ≤ 31 ,
falls 13 < X ≤ 23 ,
falls 23 < X ≤ 1.
6. Die Zufallsvariable X möge die Lebesguedichte
(
0,
falls t ≤ 0,
fX (t) =
ct exp{−t}, falls t > 0,
2
besitzen, wobei c eine positive Konstante ist. Ermitteln Sie den Wert von c
und berechnen Sie folgende Wahrscheinlichkeiten: a) P (2 ≤ X < 3),
b) P (2 ≤ X ≤ 3), c) P (2 ≤ X), d) P (0 ≤ X ≤ 3) und e) P (−4 ≤ X ≤ 3) !
7. Es bezeichne λ2 das Lebesguesche Maß in der Ebene und es sei (X, Y )
ein zweidimensionaler zufälliger Vektor, dessen Verteilung bezüglich λ2 die
Dichte
fX,Y (s, t) = I[0,1] (s)I[0,1] (t)
haben möge. Das bedeutet, das für jede Menge B ∈ B ⊗ B
Z
P ((X, Y ) ∈ B) = IB (s, t)fX,Y (s, t)λ2 (ds, dt)
gilt. Nach dem Satz von Fubini ist dies gleichwertig mit
Z Z
P ((X, Y ) ∈ B) =
IB (s, t)fX,Y (s, t)λ(ds) λ(dt).
Berechnen Sie folgende
√ Wahrscheinlichkeiten:2 a) P (X ≤ Y ), b) P (X < Y ),
2
c) P (X < Y ), d) P ( X < Y ) und e) P (2X − 1 < Y ).
Hinweis: Formen Sie für die entsprechende Menge B die zugehörige
Indikatorfunktion geeignet um und verwenden Sie, dass (X, Y ) nur Werte
in [0, 1]2 annimmt. Das bedeutet z.B. für c) mit B = {(s, t) : s2 < t,
0 ≤ s, t ≤ 1}
IB (s, t) = I[0,1] (t)I[0,√t) (s).
8. Es seien X, Y die Zufallsvariablen aus Beispiel 7. Berechnen Sie die
Verteilungsfunktion und gegebenenfalls die Lebesguedichte von folgenden Zu, b) X2 = XY , c) X3 = X 2 Y −3 ,d) X4 = min(X, Y ),
fallsvariablen: a) X1 = X
Y
1
e) X4 = min(X, Y, 2 ) !
9. Es sei X die Zufallsvariable aus 5). Ermitteln Sie das 0, 1−Quantil der
Zufallsvariablen Y = 4X 2 + 2 !
10. Es sei X eine binomialverteilte Zufallsvariable mit dem Parameter
p = 31 . Ermitteln Sie α-Quantile für folgende Werte von α: a) α = 0, 1,
b) α = 0, 5, c) α = 0, 7 !
11. Die Zufallsvariable X sei gleichverteilt auf {1, 2, ...., 6}. Ermitteln Sie
ein 0, 75-Quantil!
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